数学导学案：向量数乘运算及其几何意义.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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2。2。3向量数乘运算及其几何意义

1．理解并掌握向量数乘的定义及几何意义，会作向量ma＋nb。

2．熟练掌握和运用向量数乘的运算律，会化简向量关系式,并能用已知向量表示未知向量．

3．掌握向量共线定理，会判定或证明两向量共线．

1．向量的数乘

定义

一般地，实数λ与向量a的积是一个______,这种运算叫做向量的数乘，记作λa

长度

|λa｜＝｜λ|｜a｜

方向

λ＞0

λa的方向与a的方向______

λ＝0

λa＝____

λ＜0

λa的方向与a的方向____

①实数与向量可以进行数乘运算，其结果是一个向量，不是实数;但实数与向量不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a是错误的．

②对任意非零向量a，则向量eq\f(a,|a｜)是与向量a同向的单位向量．

③λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ｜倍．

【做一做1】已知非零向量a，b满足a＝4b，则()

A．｜a｜＝｜b| B．4｜a|＝｜b｜

C．a与b的方向相同 D．a与b的方向相反

2．向量数乘的运算律

向量的数乘运算满足下列运算律:

设λ，μ为实数，则

（1)λ(μa)＝________;

(2)(λ＋μ)a＝________；

（3)λ（a＋b）＝________(分配律）．

特别地，我们有(－λ)a＝______＝______,λ(a－b）＝______.

在△ABC中,D是BC的中点，则有eq\o（AD,\s\up6(→）)＝eq\f（1,2)（eq\o（AB,\s\up6（→）)＋eq\o(AC，\s\up6(→))）．

【做一做2】3（2a－4b)等于(

A．5a＋7b B．5a－7b C．6a＋12b D．6

3．共线向量定理

向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______．

（1)向量共线的条件：当向量a＝0时,a与任一向量b共线；当向量a≠0时，对于向量b，如果有一个实数λ,使b＝λa，那么由实数与向量的积的定义知b与a共线．

反之，已知向量b与a（a≠0）共线且向量b的长度是向量a长度的λ倍,即|b|＝λ|a｜，那么当b与a同方向时b＝λa，当b与a反方向时b＝－λa.

(2)如果向量a与b不共线，且λa＝μb，那么λ＝μ＝0。

已知三点A，B,C共线，O是平面内任意一点，则有eq\o（OC，\s\up6（→）)＝λeq\o(OA,\s\up6（→)）＋meq\o（OB，\s\up6(→）)，其中λ＋m＝1.

【做一做3】已知P是线段MN的中点，则有（）

A。eq\o(MN，\s\up6（→))＝2eq\o(NP，\s\up6（→)) B.eq\o（MP,\s\up6（→)）＝eq\f(1,2）eq\o（MN，\s\up6(→））

C.eq\o(PN,\s\up6（→)）＝eq\f(1，2)eq\o（NM，\s\up6（→）） D.eq\o(MP，\s\up6(→））＝eq\o（NP,\s\up6（→））

4．向量的线性运算

向量的____、____、______运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a,b以及任意实数λ，μ1,μ2，恒有λ(μ1a±μ2b）＝

向量λ（μ1a＋μ2b）可以用平行四边形法则作出，如图所示，eq\o（OE,\s\up6（→)）＝λ（μ1a＋μ2b)．

【做一做4】在ABCD中，eq\o(AB,\s\up6（→))＝2a，eq\o(AD,\s\up6(→)）＝3b，则eq\o（AC,\s\up6（→)）等于(）

A．a＋b B．a－b C．2a＋3b D．2a－

答案：1．向量相同0相反

【做一做1】C∵a＝4b，4＞0，∴|a|＝4|b|。

∵4b与b的方向相同,∴a与b的方向相同．

2．(1）（λμ）a（2）λa＋μa(3)λa＋λb－(λa）λ（－a）λa－λb

【做一做2】D原式＝3×2a－3×4b＝6a－12

3．b＝λa

【做一做3】B如图所示,eq\o(MN,\s\up6（→）)＝－2eq\o（NP，\s\up6(→）），eq\o(PN，\s\up6（→)）＝eq\f(1，2)eq\o（MN，\s\up6(→）），eq\o（MP，\s\up6（→））＝eq\o(PN，\s\up6(→）),则选项A，C,D不正确,很明显eq\o（MP，\s\up6（→）)＝eq\f(1,2）eq\o（MN，\s\up6（→))，则选项B正确．

4．加减数乘λμ1a±λμ2

【做一做4】