陕西省西安市长安区第一中学高二下学期期中考试数学试题（含简单答案）.docxVIP

（2024版）

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长安区第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试

数学试题

时间：120分钟满分：150分

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1.集合M=的非空子集个数是（）

A.3 B.7 C.15 D.31

2.若（是虚数单位），则复数的模为

A. B. C. D.

3.已知向量，，满足，，且，则（）

A.-1 B.0 C.1 D.2

4.函数的图象大致为（）

A. B.

C. D.

5.若为一组从小到大排列的数，，，，，的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是（）

A. B. C. D.

6.“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．

甲：我的成绩比乙高．

乙：丙的成绩比我和甲的都高．

丙：我的成绩比乙高．

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）

A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙

C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙

7.为了更好的了解党的历史，宣传党的知识，传颂英雄事迹．某校团支部6人组建了党史宣讲，歌曲演唱，诗歌创作三个小组，每组2人，其中甲不会唱歌，乙不能胜任诗歌创作，则组建方法有（）种

A.60 B.72 C.30 D.42

8.已知，，直线：，：，且，则的最小值为（）

A.2 B.4 C. D.

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9.下列命题中，正确的命题是（）

A.若事件，满足，，则

B.设随机变量服从正态分布，若，则

C.若事件，满足，，，则与独立

D.某小组调查5名男生和5名女生的成绩，其中男生平均数为9，方差为11；女生的平均数为7，方差为8，则该10人成绩的方差为9.5

10.已知，，且，则（）

A. B.

C. D.

11.将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到如图所示的函数的部分图象，则关于函数的说法，正确的是（）

A.最小正周期为 B.图象关于点对称

C.图象关于直线对称 D.在区间上的值域为

12.如图，在正方体中，，是正方形内部(含边界)的一个动点，则（）

A.存唯一点，使得

B.存在唯一点，使得直线与平面所成的角取到最小值

C.若，则三棱锥外接球的表面积为

D.若异面直线与所成的角为，则动点的轨迹是抛物线的一部分

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在答题卡相应的位置．）

13.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下描述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一．”意思是：一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍．请问塔顶层有______盏灯，塔底层有_______盏灯．

14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为圆心作与的渐近线相切的圆，该圆与的一个交点为，若为等腰三角形，则的离心率为______.

15.已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是_________．

16.已知G为△ABC的重心，点M，N分别在边AB，AC上，满足其中若，则△ABC和△AMN的面积之比为_______.

四、解答题：（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17.已知为等差数列，为单调递增等比数列，，，.

（1）求与的通项公式；

（2）求数列的前项和

18.已知的内角的对边分别为，且.

（1）求大小；

（2）若为锐角三角形，求的取值范围.

19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，是正三角形，平面平面ABCD，，．

（1）求证：；

（2）若M是PB的中点，求直线MD与平面ACP所成角的正弦值．

20.盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．

（1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；

（2）记取出的3个小球上的最小数字为，求的分布列及数学期望．

21.已知动圆经过定点，且与圆：内切.

（1）求动圆圆心轨迹的方程；

（2）设轨迹与轴从左到右的交点为，，点为轨迹上异于，的动点，设交直线于点，连接交轨迹于点，直线，的斜率分别为，.

①求证：为定值；

②证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.

22.已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程，

（2）证明：.

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数学试题简要