2019-2020年上海各区二模压轴题分类汇编-25题-答案.docxVIP

专题2020年上海各区分类汇编25题

专题一动点函数下的三角形

【历年真题】

1．（2020?普陀区二模）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以AB为

直径的⊙O交边DC于E、F两点，AD＝1，BC＝5，设⊙O的半径长为r．

（1）联结OF，当OF∥BC时，求⊙O的半径长；

（2）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，设OH＝y，试用r的代数式表示y；

（3）设点G为DC的中点，联结OG、OD，△ODG是否能成为等腰三角形？如果能，试求出r的值；如不能，试说明理由．

【考点】垂径定理；等腰三角形的判定；勾股定理；直角梯形．

【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；梯形；圆的有关概念及性质；推理能力．

【分析】（1）证OF为梯形ABCD的中位线，得出r＝OF＝（AD+BC）＝3即可；

（2）连接OD、OC，过点D作DM⊥BC于M，则CM＝BC﹣BM＝4，由勾股定理得出DC＝2，由四边形ABCD的面积＝△DOC的面积+△AOD的面积+△BOC的面积，进而得出答案；

（3）证OG是梯形ABCD的中位线，得出OG∥AD，OG＝3，DG＝CD＝，由勾股定理得OD＝，分三种情况，分别求解即可．

【解答】解：（1）∵OF∥BC，OA＝OB，

∴OF为梯形ABCD的中位线，

∴OF＝（AD+BC）＝（1+5）＝3，

即⊙O的半径长为3；

（2）连接OD、OC，过点D作DM⊥BC于M，如图1所示：

则BM＝AD＝1，∴CM＝BC﹣BM＝4，

∴DC＝＝＝2，

∵四边形ABCD的面积＝△DOC的面积+△AOD的面积+△BOC的面积，

∴（1+5）×2r＝×2×y+×r×1+×r×5，

整理得：y＝；

（3）△ODG能成为等腰三角形，理由如下：

∵点G为DC的中点，OA＝OB，

∴OG是梯形ABCD的中位线，

∴OG∥AD，OG＝（AD+BC）＝（1+5）＝3，

DG＝CD＝，

由勾股定理得：OD＝＝，

分三种情况：

①DG＝DO时，则＝，无解；

②OD＝OG时，如图2所示：

＝3，

解得：r＝2；

③GD＝GO时，作OH⊥CD于H，如图3所示：

∠GOD＝∠GDO，

∵OG∥AD，∴∠ADO＝∠GOD，

∴∠ADO＝∠GDO，

在△ADO和△HDO中，，

∴△ADO≌△HDO（AAS），

∴OA＝OH，

则此时圆O和CD相切，不合题意；

综上所述，△ODG能成为等腰三角形，r＝2．

【点评】本题考查了垂径定理、梯形中位线定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握垂径定理和梯形中位线定理是解题的关键．

2．（2020?虹口区二模）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，cosC＝，

DC＝5，BC＝6，以点B为圆心，BD为半径作圆弧，分别交边CD、BC于点E、F．

（1）求sin∠BDC的值；

（2）联结BE，设点G为射线DB上一动点，如果△ADG相似于△BEC，求DG的长；

（3）如图2，点P、Q分别为边AD、BC上动点，将扇形DBF沿着直线PQ折叠，折叠后的弧DF经过点B与AB上的一点H（点D、F分别对应点D，F），设BH＝x，BQ＝y，求y关于x的函数关系式（不需要写定义域）．

【考点】圆的综合题．

【专题】几何综合题；应用意识．

【分析】（1）如图1中，连接BE，过点D作DK⊥BC于K，过点B作BJ⊥CD于J．想办法求出BJ，BD即可解决问题．

（2）分两种情形分别求解：①当△ADG∽△BCE时．②当△ADG∽△ECB时，分别利用相似三角形的性质求解即可．

（3）如图3中，过点B作BJ⊥PQ交于J，连接BJ，JH，JQ，过点J作JG⊥BH于G，过点Q作QK⊥JH于K．由题意BQ＝QJ＝y，求出QK，KJ，在Rt△QKJ中，利用勾股定理即可解决问题．

【解答】解：（1）如图1中，连接BE，过点D作DK⊥BC于K，过点B作BJ⊥CD于J．

在Rt△CDK中，∵∠DKC＝90°，CD＝5，cos∠C＝＝，∴CK＝3，

∵BC＝6，∴BK＝CK＝3，

∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝90°

∵DK⊥BC，∴∠A＝∠ABC＝∠DKB＝90°，

∴四边形ABKD是矩形，∴AD＝BK＝3，

∴DB＝DC＝5，DK＝＝＝4，

∵S△DCB＝?BC?DK＝?CD?BJ，∴BJ＝，

∴DJ＝＝＝，

∵BD＝BE，BJ⊥DE，∴DJ＝JE＝，

∴EC＝CD﹣DJ＝JE＝5﹣＝，

∴sin∠BDC＝＝＝．

（2）如图2中，

∵AD∥BC，∴∠ADG＝∠DBC，

∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠C，∴∠ADG＝∠C，

∵△ADG相似△BEC，

∴有两种情形：当△ADG∽△BCE时，∴＝，

∴＝，∴DG＝，

当△ADG∽