2020-2021年上海各区二模压轴题分类汇编-25题-答案.docxVIP

专题2021年上海各区分类汇编25题

专题一动点函数下的三角形

【历年真题】

1．（2021?浦东新区二模）四边形ABCD内接于半径为2的⊙O，BC＝，射线BO与对

角线AC交于点E．

（1）如果AB、CD是⊙O的内接正n边形的边，AD是⊙O的内接正（n+2）边形的边，

①求AB的长；

②试证明△ABE∽△ACB，并求的值；

（2）当△AEO为等腰三角形且点E在BO的延长线上时，求∠ABC的大小．

【考点】圆的综合题．

【专题】几何综合题；圆的有关概念及性质；正多边形与圆；运算能力；推理能力．

【分析】（1）①连接OC，过点O作OH⊥BC，垂足为点H．由直角三角形的性质得出∠BOC＝120°，∠OCB＝30°，得出方程．求出n＝4，由直角三角形的性质得出答案；

②由∠ABE＝∠ACB，∠BAE＝∠CAB可得出结论；如图2，过点B作BG⊥AC，垂足为点G．由相似三角形的性质可得出答案；

（2）设∠AEB＝x°，由（1）知∠OBC＝∠OCB＝30°，则∠ECB＝（x﹣30）°，∠ECO＝∠EAO＝（x﹣60）°．分三种情况由三角形内角和定理列出方程可求出答案．

【解答】解：（1）①如图1，连接OC，过点O作OH⊥BC，垂足为点H．

∵OB＝OC，OH⊥BC，∴BH＝BC＝，∠BOC＝2∠BOH．

在Rt△BOH中，BO＝2，BH＝，∴．

∴∠BOH＝60°，∠OBH＝30°．

∴∠BOC＝120°，∠OCB＝30°．

∵AB、CD是⊙O内接正n边形的边，AD是⊙O内接正（n+2）边形的边，

∴∠AOB＝∠DOC＝，∠AOD＝，

∴．

解得n＝4，n＝（不符合题意，舍去）．

经检验n＝4是原方程的解且符合题意．

∴∠AOB＝＝90°．

在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝BO＝2，

∴AB＝．

②∵△AOB是等腰直角三角形，

∴∠ABE＝45°．

∵OA＝OC，∠AOC＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC＝360°﹣90°﹣120°＝150°，

∴∠ACO＝15°，

∴∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝15°+30°＝45°，

∴∠ABE＝∠ACB，

∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB．

如图2，过点B作BG⊥AC，垂足为点G．

在Rt△BGC中，∠BGC＝90°，∠ACB＝45°，BC＝，

∴BG＝CG＝．

在Rt△ABG中，∠BGA＝90°，BG＝，AB＝，∴AG＝．

∴AC＝AG+CG＝，

∵△ABE∽△ACB，∴AB2＝AE?AC．

即．解得，

∴．

（2）设∠AEB＝x°，由（1）知∠OBC＝∠OCB＝30°，

∴∠ECB＝（x﹣30）°，∠ECO＝∠EAO＝（x﹣60）°．

①如图3，如果AO＝AE，那么∠AOE＝∠AEB＝x°．

根据题意可得x+x+x﹣60＝180．解得x＝80．

∴∠ABO＝40°，∴∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝40°+30°＝70°．

②如果AO＝EO，那么∠OAE＝∠OEA．

根据题意可得x＝x﹣60．此方程无解．

∴此种情况不存在．

③如图4，如果AE＝OE，那么∠EAO＝∠EOA＝（x﹣60）°．

根据题意可得x+x﹣60+x﹣60＝180．

解得x＝100．

∴∠ABC＝20°+30°＝50°．

综上所述，∠ABC的度数为70°或50°．

【点评】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．

2．（2021?长宁区二模）已知半圆O的直径AB＝4，点C、D在半圆O上（点C与点D不

重合），∠COB＝∠DBO，弦BD与半径OC相交于点E，CH⊥AB，垂足为点H，CH交弦

BD于点F．

（1）如图1，当点D是的中点时，求∠COB的度数；

（2）如图2，设OH＝x，＝y，求y关于x函数解析式，并写出定义域；

（3）联结OD、OF，如果△DOF是等腰三角形，求线段OH的长．

【考点】圆的综合题．

【专题】几何综合题；推理能力．

【分析】（1）连接BC，想办法证明∠OCB＝∠OBC＝2∠COB，可得结论．

（2）如图2中，过点E作EJ⊥CF于J．首先证明EC＝EF，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．

（3）分两种情形：如图3﹣1中，当FD＝FO时，证明FD＝FO＝EO＝EB，设FD＝FO＝EO＝EB＝x，则EC＝EF＝2﹣x，BF＝2x﹣2，BD＝3x﹣2，证明△DOB∽△BEO，利用相似三角形的性质求解．如图3﹣2中，当DO＝DF时，证明△OCH是等腰直角三角形即可．

【解答】解：（1）如图1中，连接BC．

∵＝，∴∠ABD＝∠DBC，

∵∠COB＝∠ABD，∴∠OBC