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微积分中的数列

数列是指一列数字按照一定规律排列组合而成的序列。在微积

分中，数列的概念很重要，因为它们在函数和极限的理论推导中

有极为重要的应用。本文主要介绍微积分中的数列的基本概念和

应用。

一、数列的定义和性质

数列是由一些有顺序的、可以按照一定规律排列的数构成的序

列。在数列中，每一个数都叫做数列的项。通常用数列的第n项

来表示数列中的第n个数。

例如，数列{1，2，3，4，5，6，7，...}中的第3项是3，第5

项是5，依此类推。数列通常用花括号“{}”来表示，用“，”号分隔

开每一项。

数列的性质有：

1、有限数列和无限数列：数列中如果有限项就叫做有限数列，

否则就叫做无限数列。

2、单调数列：数列的每一项都比前一项大（小）或相等，就

叫单调递增（递减）数列。

3、有界数列：如果数列的项都在一定范围内，就叫做有界数

列。

4、公差和通项公式：对于等差数列而言，它的项之间的差

（公差）是一定的，用d表示；而对于等比数列而言，它的相邻

两项的比（公比）也是一定的，用q表示。此外，数列的通项公

式可以用来求得数列中任何一项的值，通项公式的形式具体取决

于数列本身的特殊性质。

二、数列的求和

数列的求和是微积分中一个非常重要的问题，因为在很多情况

下，需要对数列求和以得出它们的极限值或者对函数进行积分时

要用到数列的和式。下面分别介绍等差数列、等比数列和调和数

列的和式。

1、等差数列的和式

设等差数列的首项为a1，公差为d，则数列的第n项是

an=a1+(n-1)d。则等差数列前n项和为：

S_n={n/2}[2a1+(n-1)d]

其中，n/2指的是n整除2的商，这是一个整数。

例如，等差数列{1，4，7，10，13，...}的前4项和为

S_4=1+4+7+10=22。

2、等比数列的和式

设等比数列的首项为a1，公比为q，则数列的第n项是

an=a1q^(n-1)。则等比数列前n项和为：

S_n={a1(q^n-1)}/{(q-1)}

其中，q≠1。

例如，等比数列{1，2，4，8，16，32，...}的前4项和为

S_4=(1×[2^4-1])/(2-1)=15。

3、调和数列的和式

调和数列是指数列的各项倒数为一个等差数列的数列。即a_1，

a_2，a_3...a_n的倒数为1/a_1，1/a_2，1/a_3...1/a_n为等差数列。

调和数列的前n项和为：

S_n=1+1/2+1/3+...+1/n=H_n

其中H_n称为调和级数。

例如，调和数列{1，1/2，1/3，1/4，...}的前4项和为

S_4=1+1/2+1/3+1/4=25/12。

三、数列的极限

在微积分中，数列的极限是一个非常重要的概念。数列的极限

是指当数列的项无限逼近某一个数时，这个数就是数列的极限，

记作limn→∞an=L。在这个过程中，数列的项可以越来越接近L，

但是它们不可能完全等于L。

数列的极限可以用来定义函数的极限，而函数的极限是微积分

中非常重要的概念。数列的极限满足以下性质：

1、极限的唯一性：如果数列的极限存在，则这个极限是唯一

的。

2、保号性：如果数列an0，则其极限L0；如果数列an0，

则其极限L0。

3、夹逼定理：如果数列{a_n}，{b_n}，{c_n}满足

a_n≤b_n≤c_n（n=1，2，3...），且limn→∞a_n=limn→∞c_n=L，则

数列{b_n}的极限也存在，且为L。

四、数列的应用

1、数列的插值问题

插值是数学中非常重要的问题，它在微积分和数值计算中有广

泛的应用。在数列中，有时我们需要求得一个不在数列中的数的

值。这时可以通过数列的插值法来得到这个数的近视值。

设数列{a_n}的前n项和为Sn，则对于正整数k，如果a_k和

Sn-a_k的值已知，则可以求出数列的第n+1项a_n+1。具体方法

是利用等式：a_n+1=a_n+(Sn-a_n)/k。这个式子就是差值法的基本

思想。在微积分中，差值法还有很多其他的应用，例如函数的数

值近似计算等。