《直线的倾斜角与斜率---两条直线平行和垂直的判定》教材分析 (1).docxVIP

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《2.1直线的倾斜角与斜率》教材分析

一、本节知识结构框图

二、重点、难点

重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线斜率公式.

难点：用直线的倾斜角和斜率刻画直线的几何特征，建立直线的倾斜角、斜率及直线上任意两点纵横坐标差商之间的关系.

三、教科书编写意图及教学建议

本节内容包括直线的倾斜角和斜率的概念，倾斜角与斜率之间的关系，过两点的直线斜率公式的推导，以及运用直线的斜率判断两条直线平行或垂直的位置关系.

为了用代数方法研究直线的有关问题，教科书首先探索在平面直角坐标系中确定直线位置的几何要素，然后用代数方法表示这些几何要素.通过一点和一个方向可以确定一条直线，教科书引人倾斜角刻画直线的倾斜程度（方向）；然后通过具体实例，由特殊到一般，通过向量法，用直线上两点的坐标刻画倾斜角；把倾斜角的正切值表示为这两点纵坐标的差与横坐标的差的商，进而引出直线的斜率的概念；推导过两点的直线的斜率公式，以及直线的斜率与其方向向量的关系.由于直线的位置可以由点与斜率唯一确定，在点确定的前提下，可以由它们的斜率判断两条直线平行或垂直的位置关系.

教学时，要让学生认识到对确定直线位置的几何要素的刻画是按照“方向→倾斜角→倾斜角的正切值→斜率→直线上任意两点纵横坐标的差商”过程展开的.这个过程是对“直线”这个几何研究对象逐步代数化的过程，把“形”逐步转化为“数”，用“数”表示“形”.这个过程是解析几何研究几何图形的基本过程，它是不断深化、不断精致的过程.教科书正是按照这个过程展开本节的内容.

2.1.2两条直线平行和垂直的判定

平行和垂直是空间中图形的两种基本位置关系，位置关系是几何研究的一个重要方面.平面上的两条直线有两种位置关系：相交、平行，其中垂直是相交的特殊情形.由于斜率刻画了平面直角坐标系中直线相对于x轴的倾斜程度，因此可以用斜率判断两条直线的位置关系.

1.关于平行的判定

平行的位置关系非常抽象.在平面几何中，用两条直线不相交来定义平行.同时通过两条直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角的数量关系判断两条直线是否平行.教学时，要适当回顾平行的概念，平行线的性质定理和判定定理.

由两条直线平行的性质定理可知，它们被x轴所截，形成的同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因而倾斜角相等，进而它们的斜率相等.反之，两条直线的斜率相等，由正切函数的单调性，可知它们的倾斜角相等，又由于倾斜角是一对同位角，由两条直线平行的判定定理可知，它们平行.因此，在斜率存在的前提下，两条直线平行与它们的斜率相等互为充分必要条件，即对于斜率分别为的两条直线，有

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对于斜率不存在的两条直线，因为它们都平行于y轴，或都垂直于x轴，所以它们是平行的.判断两条直线是否平行时，要按斜率是否存在进行分类，但在教学时，不需要过度强调.平面几何中平行线的性质定理和判定定理都是重要的定理，学生比较熟悉.此处再次提出，可以学生进一步明确解析几何的研究对象是图形，具体研究两条直线平行（位置关系），此时用斜率进行判断，斜率是对直线倾斜角的进一步量化.

教科书讲两条直线时，一般是指两条不重合的直线；说直线时，可以有重合的情况.重合的情况，经常用来判断三个点是否共线.当然判断三个点是否共线有多种方法，随着后续的学习，还可以用方程判断第三点是否在另外两点确定的直线上，也就是第三点的坐标是否满足另外两点确定的直线的方程.

2.例2、例3的教学

例2是直接运用直线的斜率判断两条直线的位置关系，它是过两点的直线斜率公式的运用：由点的坐标求得直线的斜率，由斜率直接进行判断.由图形容易知道，这两条直线不共线.教学时，可以直接让学生根据斜率公式进行判断.需要注意的是，要结合图形，首先判断直线不重合.

例3的综合性强一些，已知四边形四个顶点的坐标，判断四边形的形状.教学时，要先猜想，然后进行判断.根据图形的直观，猜想四边形的对边平行，是平行四边形，依据是平行四边形的定义.据此，由过两点的直线斜率公式，同时结合图形，容易得到结论.教学时，要先借助图形的直观，发现结论，形成猜想，然后进行证明.随着后续的学习，我们通过计算对边的长度，应用对边平行且相等的四边形；或者两组对边分别相等的四边形是平行四边形的判定定理，也可以得出结论，不同方法之间存在差异：有的是直接依据对边的位置关系，有的直接依据对边的数量关系，有的是位置关系和数量关系两者结合.

例3用斜率判断两条直线平行比较简单，就是根据点的坐标计算过两点的直线斜率，把计算结果：两个数（斜率）相等“翻译”为直线的位置关系：平行.

3.关于垂直的判定

根据“排中律”，平面中两条直线不平