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;;一、选择题(每题4分,共24分)
1.如图是“光盘行动”的宣传海报,图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是()
A.相切
B.相交
C.相离
D.平行;2.[2024·武汉二模]如果直径为13cm的圆与一条直线有两个公共点,那么圆心到该直线的距离d满足()
A.d=13cm
B.d=6.5cm
C.0cm≤d6.5cm
D.d6.5cm;返回;返回;【点拨】连接BD,AO,交于点E,过点O作OF⊥CD于点F,过点D作DH⊥BC于点H,如图所示.
设OE=a,半圆O的半径为r.
∵AB,AD是半圆O的切线,切点分别是B,D,
∴OB⊥AB,AD=AB,∠DAO=∠BAO.
∴点A在BD的垂直平分线上,∠BAD=2∠BAO.;∵OB=OD,∴点O在BD的垂直平分线上.
∴OA是BD的垂直平分线,即OA⊥BD.
∵OB=OC=r,∴S△COD=S△BOD.
又∵四边形ABOD的面积是△COD面积的3倍,
∴四边形ABOD的面积是△BOD面积的3倍,;返回;当DB最长时,DB为⊙O的直径,
∴∠BCD=90°.
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆,
∴BD⊥AC,
∴易得∠ABD=∠CBD=30°,
∴在Rt△BCD中,DB=2DC,故③正确;;如图,延长DA至点E,使AE=DC,连接BE.
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形,
∴∠BCD+∠BAD=180°.
又∵∠BAE+∠BAD=180°,
∴∠BAE=∠BCD.
又∵AB=BC,AE=CD,
∴△ABE≌△CBD,;∴BD=BE,∠ABE=∠DBC,
∴∠EBD=∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°,∴△BDE是等边三角形,∴DE=BD.
∵DE=AD+AE=AD+CD,
∴DA+DC=DB,故④正确;
∴正确的结论有3个.故选C.;二、填空题(每题5分,共20分)
7.[2023·泰州]小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编:如图,一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门,出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一颗大树,向树的方向走
9里到达城堡边,再往前走6里到达树
下,则该城堡的外围直径为
________里.;【点拨】如图,⊙O表示圆形城堡,
由题意知,AB切⊙O于D,
BC切⊙O于C,连接OD,
则OD⊥AB,OC⊥BC,
BD=BC=9里.;返回;8.[2024·哈尔滨一模]如图,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,PO交⊙O于点C,连接BC,若∠B=28°,则∠P的度数为________.;【点拨】∵OB=OC,
∴∠OCB=∠B=28°.
∴∠AOP=∠B+∠OCB=56°.
∵PA切⊙O于点A,
∴∠OAP=90°.∴∠P???90°-∠AOP=34°.;215°;返回;10.如图,PA与⊙O相切于点A,PO交⊙O于点B,点C在PA上,且CB=CA.若OA=5,PA=12,则AC的长为________.;返回;三、解答题(共56分)
11.(18分)[2024·抚州校级模拟]如图,直径AB⊥弦CD于点E,PD∥AC.
(1)求证:AC=PD;;返回;12.(18分)如图,直线l与⊙O相切于点D,AB为⊙O的直径,过点A作AE⊥l于点E,延长AB交直线l于点C.;(1)求证:AD平分∠CAE;;(2)若BC=1,DC=3,求⊙O的半径.;13.(20分)如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的两点,且BC=DC,BD交AC于点E,点F在AC的延长线上,BE=BF.;(1)求证:BF是⊙O的切线;;②求⊙O的半径.
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