2025年沪科版九年级下册数学第24章专题5 证明圆的切线的常用方法.pptx

第24章圆24.4直线与圆的位置关系专题5证明圆的切线的常用方法

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1．[2024·荆州模拟]如图，已知D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，BE与⊙O相切，交CD的延长线于点E，且BE＝DE.(1)证明：CE是⊙O的切线；【证明】如图，连接OD.

∵BE是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，∴OB⊥BE.∴∠OBE＝90°.∵EB＝ED，OB＝OD，∴∠EBD＝∠EDB，∠OBD＝∠ODB.∴∠EDB＋∠ODB＝∠EBD＋∠OBD＝∠OBE＝90°.∴OD⊥DE.∵OD是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线.

②求BD的长．

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2.如图，在△ABC中，O是AC上(异于点A，C)的一点，⊙O恰好经过点A，B，AD⊥CB于点D，且AB平分∠CAD.

(1)判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；【解】BC与⊙O相切．理由如下：连接OB，如图.∵AB是∠CAD的平分线，∴∠BAD＝∠BAO.∵OB＝OA，∴∠OAB＝∠OBA.∴∠BAD＝∠OBA.∴OB∥AD.∴∠OBC＝∠D＝90°，即OB⊥BC.又∵BC过半径OB的外端点B，∴BC与⊙O相切.

(2)若AC＝10，DC＝8，求⊙O的半径长．返回

3.如图，AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，CD与⊙O有公共点E，且AD＝DE.

(1)求证：CD是⊙O的切线；【证明】连接OD，OE.∵AD切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，∴∠DAB＝90°.∵AD＝DE，OA＝OE，OD＝OD，∴△ADO≌△EDO(SSS).∴∠OED＝∠OAD＝90°，即OE⊥CD.又∵OE是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线.

(2)若AB＝12，BC＝4，求AD的长．【解】过点C作CH⊥AD于点H.∵AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，∴∠DAB＝∠ABC＝∠CHA＝90°.∴四边形ABCH是矩形.∴CH＝AB＝12，AH＝BC＝4.∴DH＝AD－AH＝AD－4.

返回∵CB，CD是⊙O的切线，∴CE＝BC＝4.又∵AD＝DE，∴CD＝DE＋CE＝AD＋4.∵CH2＋DH2＝CD2，∴122＋(AD－4)2＝(AD＋4)2.∴AD＝9(负值已舍去).

4．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，连接CO交⊙O于点E,⊙O与AC相切于点D.

(1)求证：BC是⊙O的切线；【证明】如图，连接OD，过点O作OP⊥BC于点P.∵⊙O与AC相切于点D.∴OD⊥AC.∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，∴∠OCD＝∠OCP＝45°.∴OD＝OP，即OP是⊙O的半径.∴BC是⊙O的切线.

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5．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B.求证：CD与⊙O相切．

【证明】如图，过点O作OH⊥CD于点H.∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°.∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠AEB＝90°，即OA⊥DA.∵DO平分∠ADC，OH⊥DC，OA⊥DA，∴OH＝OA，即OH是⊙O的半径.∴DC是⊙O的切线，即CD与⊙O相切.返回

6.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点，连接OA.

(1)求证：AB与半圆O相切；【证明】连接OD，作OH⊥AB于点H，如图.∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC.∵AC与⊙O相切于点D，∴OD⊥AC.而OH⊥AB，∴OH＝OD.∴AB是半圆O的切线，即AB与半圆O相切.

(2)若CD＝4，CF＝2，求sin∠OAC的值．返回