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数学建模第三讲层次分析法

在数学建模的领域中，层次分析法（AnalyticHierarchyProcess，简

称AHP）是一种相当实用且重要的决策方法。它能够帮助我们在面对

复杂的多准则决策问题时，做出更为合理、科学的决策。

那么，什么是层次分析法呢？简单来说，层次分析法就是把一个复

杂的问题分解成若干个层次，通过两两比较的方式，确定各层次元素

之间的相对重要性，最后综合这些比较结果，得出最终的决策方案。

比如说，我们要选择一个旅游目的地。这时候，可能会考虑多个因

素，比如景点吸引力、交通便利性、住宿条件、餐饮质量、费用等等。

这些因素就构成了不同的层次。然后，我们会对每个因素进行两两比

较，比如景点吸引力比交通便利性更重要吗？重要多少？通过这样的

比较，我们就能给每个因素赋予一个相对的权重。

为了更清楚地理解层次分析法，我们来看看它的具体步骤。

第一步，建立层次结构模型。这是层次分析法的基础。我们需要把

问题分解成目标层、准则层和方案层。目标层就是我们最终要实现的

目标，比如选择最佳的旅游目的地。准则层就是影响目标实现的各种

因素，像前面提到的景点吸引力、交通便利性等等。方案层就是我们

可以选择的具体方案，比如去三亚、去桂林、去丽江等等。

第二步，构造判断矩阵。在这一步，我们要对同一层次的元素进行

两两比较，比较它们对于上一层某个元素的重要性。比较的结果通常

用19标度法来表示。比如说，如果因素A比因素B稍微重要，就给

A对B的比较值赋3；如果A比B明显重要，就赋5；如果A比B极

端重要，就赋9。反过来，如果B比A稍微重要，就给B对A的比较

值赋1/3，以此类推。

第三步，计算权重向量并进行一致性检验。通过数学方法，比如特

征根法，计算出每个判断矩阵的最大特征值和对应的特征向量。这个

特征向量就是我们所需要的权重向量。但是，为了确保我们的判断是

合理的，还需要进行一致性检验。如果一致性比率小于01，就认为判

断矩阵的一致性是可以接受的；否则，就需要重新调整判断矩阵。

第四步，综合权重并做出决策。将各层元素的权重进行综合，最终

得出各个方案的综合权重。权重最大的方案，就是我们的最优选择。

接下来，我们通过一个简单的例子来看看层次分析法是怎么应用的。

假设我们要购买一辆汽车，考虑的因素有价格、性能、外观和舒适

性。我们已经建立了层次结构模型，并且构造了判断矩阵。

对于价格、性能、外观和舒适性这四个因素之间的两两比较，假设

我们得到的判断矩阵是：

｜｜价格｜性能｜外观｜舒适性｜

｜｜｜｜｜｜

｜价格｜1｜1/3｜1/5｜1/7｜

｜性能｜3｜1｜1/3｜1/5｜

｜外观｜5｜3｜1｜1/3｜

｜舒适性｜7｜5｜3｜1｜

通过计算，得到这个判断矩阵的最大特征值为411，对应的特征向

量经过归一化处理后，得到价格、性能、外观和舒适性的权重分别为

007、023、040、030。

然后，假设我们有三款汽车可供选择，分别是A、B、C。对于每款

汽车在价格、性能、外观和舒适性这四个方面的表现，我们也进行了

两两比较，并得到了相应的判断矩阵。计算出每款汽车在各个因素上

的权重，再乘以之前得到的因素权重，最后相加，就得到了每款汽车

的综合权重。

假设A车的综合权重是035，B车是042，C车是023。那么，我们

就应该选择B车。

层次分析法的优点是比较明显的。它能够将复杂的问题系统化、层

次化，让我们能够更清晰地分析问题。而且，它可以处理定性和定量

相结合的问题，对于一些难以直接量化的因素，也能够通过比较来确

定其相对重要性。

但是，层次分析法也不是完美的。它在构造判断矩阵时，往往会受

到个人主观因素的影响，可能导致结果的偏差。而且，如果问题的层

次结构过于复杂，计算量也会很大。

不过，尽管存在一些不足，层次分析法在很多领域都有着广泛的应

用。比如在项目管理中选择最优的项目方案，在资源分配中确定资源

的合理分配方式，在企业战略规划中制定发展战略等等。

总之，层次分析法是一种非常实用的数学建模方法，它为我们解决

多准则决策问题提供了