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圆的标准方程优秀教案

本节课主要介绍圆的标准方程，是在研究了直线的相关知

识后进行的。圆是初中时学生就已经学过的曲线，因此本节课

的重点在于推导圆的标准方程，并且能够根据不同的已知条件，

利用待定系数法和几何法求解圆的标准方程。通过研究本节课，

可以培养学生用坐标法研究几何问题的能力，加深对数形结合

思想和待定系数法的理解，增强学生的数学意识。

本节课需要用1个课时来完成，主要讲解圆的标准方程的

推导和应用。教学目标是让学生理解和掌握圆的标准方程，并

且能够根据不同的已知条件求解圆的标准方程。同时，本节课

也要让学生尝试用代数方法解决几何问题，探究数形结合和待

定系数法的思想方法。在自主探究方面，学生需要学会点与圆

的位置关系的判断方法。考试重点是学会求圆的标准方程，易

错易混点在于不同的已知条件下，如何恰当地求解圆的标准方

程。拓展方面，学生需要学会根据不同的条件，灵活适当地选

取恰当的方法求解圆的标准方程。

在引入新课环节，教师可以通过问题的形式来回顾圆的定

义，引出确定圆的两个要素：圆心和半径。同时，教师也可以

通过提问的方式，引出本节课要探究的问题：圆能否用一个方

程来表示。

在探究新知的环节，教师可以通过问题的形式，引导学生

回答求解曲线方程的一般步骤。具体来说，需要建立适当的直

角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，然后写出

适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}。在求解圆的标准方

程时，可以类比直线点斜式方程的推导方法，根据已知条件来

确定圆的方程。

师：设M(x,y)是圆上任意一点，根据圆的定义，我们可

以建立x，y满足的关系式。那么请你们用两点间的距离公式，

写出点M的坐标适合的条件。

生：根据两点间的距离公式，AM的平方等于(x-a)的平方

加上(y-b)的平方。因此，点M的坐标适合的条件是(x-a)的平

方加上(y-b)的平方等于r的平方。

师：非常好。那么我们如何进一步化简上述关系式得出圆

的方程？

生：我们可以将(x-a)的平方加上(y-b)的平方展开，得到x

的平方加上y的平方减去2ax减去2by加上a的平方加上b的

平方等于r的平方。

师：非常好。那么你们可以将其化简为最简形式吗？

生：我们可以将其化简为x的平方加上y的平方加上2ax

加上2by等于a的平方加上b的平方加上r的平方。

师：非常好。那么你们可以说明化简后的方程就是所求曲

线的方程吗？

生：是的，化简后的方程就是圆的标准方程。其中圆心为

A(a,b)，半径为r。

1.求圆的位置关系和标准方程

在平面直角坐标系中，给定圆心$C$和半径$r$，可以写出

圆的标准方程$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$。根据点和圆的位置关系，

可以确定圆的位置关系分为在圆内、在圆上和在圆外三种情况。

例如，对于点$P(x_0,y_0)$，如果$(x_0-a)^2+(y_0-b)^2r^2$，

则点$P$在圆外。

2.求圆的标准方程

对于给定的点$P(x_0,y_0)$和圆心$C(a,b)$，可以利用圆的

定义和距离公式求出圆的半径$r$，进而写出圆的标准方程$(x-

a)^2+(y-b)^2=r^2$。

3.求与直线相切的圆的标准方程

对于给定的点$P(x_0,y_0)$和直线$ax+by+c=0$，可以利

用点到直线的距离公式求出点$P$到直线的距离$d$，进而求

出圆的半径$r=d$，圆心$C(x_0,y_0)$，从而写出圆的标准方程

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=d^2$。

4.求三角形外接圆的标准方程

对于给定的三角形$ABC$的三个顶点

$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$，可以利用外心的性质求

出圆心$O$，进而求出圆的半径$r=OA$，从而写出圆的标准

方程$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$。外心可以通过求出三角形两

条边的垂直平分线的交点得到。

总结：求圆的标准方程可以利用圆的定义和距离公式，求

圆心和半径，进而写出标准方程。对于三角形外接圆的标准方

程，可以利用外心的性质，求出圆心和半径，进而写出标准方

程。此外，还可以通过待定系数法和数