2024届河南省示范中学高三下学期期中模块考试数学试题.doc

2024届河南省示范中学高三下学期期中模块考试数学试题

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知整数满足，记点的坐标为，则点满足的概率为（）

A． B． C． D．

2．若，，，则（）

A． B．

C． D．

3．设是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（）

A． B． C． D．

4．记为数列的前项和数列对任意的满足.若，则当取最小值时，等于（）

A．6 B．7 C．8 D．9

5．已知是虚数单位，则（）

A． B． C． D．

6．已知，，是平面内三个单位向量，若，则的最小值（）

A． B． C． D．5

7．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X的期望为（）

A．13 B．1

8．已知等差数列的前项和为，若，则等差数列公差（）

A．2 B． C．3 D．4

9．已知向量，，=(1，)，且在方向上的投影为，则等于（）

A．2 B．1 C． D．0

10．已知实数，则下列说法正确的是（）

A． B．

C． D．

11．已知复数，其中为虚数单位，则（）

A． B． C．2 D．

12．设双曲线的左右焦点分别为，点.已知动点在双曲线的右支上，且点不共线.若的周长的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）在平面直角坐标系中，过点作倾斜角为的直线，已知直线与圆相交于两点，则弦的长等于____________．

14．函数与的图象上存在关于轴的对称点，则实数的取值范围为______.

15．如图，在平行四边形中，，,则的值为_____.

16．在面积为的中，，若点是的中点，点满足，则的最大值是______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知数列的前n项和为，且n、、成等差数列，.

（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值.

18．（12分）如图，在三棱柱中，平面，，且.

（1）求棱与所成的角的大小；

（2）在棱上确定一点，使二面角的平面角的余弦值为.

19．（12分）已知椭圆的右顶点为，点在轴上，线段与椭圆的交点在第一象限，过点的直线与椭圆相切，且直线交轴于.设过点且平行于直线的直线交轴于点.

（Ⅰ）当为线段的中点时，求直线的方程；

（Ⅱ）记的面积为，的面积为，求的最小值.

20．（12分）已知.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.

21．（12分）若正数满足，求的最小值.

22．（10分）如图，在四棱柱中，底面为菱形，.

（1）证明：平面平面；

（2）若，是等边三角形，求二面角的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

列出所有圆内的整数点共有37个，满足条件的有7个，相除得到概率.

【详解】

因为是整数，所以所有满足条件的点是位于圆（含边界）内的整数点，满足条件的整数点有

共37个，

满足的整数点有7个，则所求概率为.

故选：.

【点睛】

本题考查了古典概率的计算，意在考查学生的应用能力.

2、C

【解析】

利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小关系，进而可得出、、三个数的大小关系.

【详解】

对数函数为上的增函数，则，即；

指数函数为上的增函数，则；

指数函数为上的减函数，则.

综上所述，.

故选：C.

【点睛】

本题考查指数幂与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.

3、D

【解析】

利用向量运算可得，即，由为的中位线，得到，所以，再根据双曲线定义即可求得离心率.

【详解】

取的中点，则由得，

即；

在中，为的中位线，

所以，

所以；

由双曲线定义知，且，所以，

解得，

故选：D

【点睛】

本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质，难度一般.

4、A

【解析】

先令，找出的关系，再令，得到的关系，从而可求出，然后令，可得，得出数列为等差数列，得，可求出取最小值.

【详解】

解法一：由，所以，由条件可得