《复变函数》课程教学大纲.docx

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《复变函数》教学大纲

课程编号：120193A

课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课

□学科基础课□专业核心课

√专业提升课□专业拓展课

总学时：48讲课学时：48实验（上机）学时：0

学分：3

考试类型：√考试□考查

适用对象：数学与应用数学（金融方向）专业

□是√否适合作为其他专业学生的个性化选修课

先修课程：数学分析

一、教学目标

《复变函数》是我校金融数学专业的专业选修课程之一，是《数学分析》的后续课程，主要研究单变量的复值可微函数的性质。《复变函数》的内容、思想方法与《数学分析》紧密相关，但绝非是《数学分析》内容在复数域中作简单平行推广，而是研究新问题，建立新理论。同时，复变函数现已成为微分方程、奇异积分方程、计算数学和概率论等数学分支的主要解析方法，同时也为众多学科提供了广泛的几何定性研究方法。因此这门课程无论是在在专业理论研究与实际应用方面都起着非常重要的作用。

通过本课程的教学，希望能够：

目标1：使学生深刻理解基本概念、系统阐述基本理论、熟练掌握运算能力；

目标2：在巩固数学分析的基础知识的同时体会本课程与《数学分析》相关理论的联系与区别，培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力，空间想象能力和科学计算能力；

目标3：培养学生的数学素养，扩展学生的数学知识面，为学生继续学习后续课程和利用数学知识能力解决实际问题打下扎实的基础。

目标4：培育有坚定理想信念、深厚爱国主义情怀、高尚道德情操，具有严谨、脚踏实地的科学探索精神、坚韧奋斗进取品格的社会主义新青年。

二、教学内容及其与毕业要求的对应关系

通过本课程的学习，使学生熟练掌握复变函数的基本理论和基本方法，对解析函数、柯西积分定理、柯西积分公式、解析函数的泰勒展式和洛朗展式、留数理论、共形映射理论等有较深入的理解，并能用来解决简单的实际问题。

具体包括：

1.正确理解复数、复平面、复变函数等概念，熟练掌握复数与复变函数运算、性质及应用（精讲）；

2.熟练掌握解析函数的等价刻划定理特别是柯西-黎曼条件，掌握初等函数的解析性（精讲）；

3.正确理解复变函数积分的定义，熟练掌握柯西积分定理及其推广形式、柯西积分公式、高阶导数公式以及它们的各种应用（精讲）；

4.掌握解析函数的泰勒展式和洛朗展式，并能用它来解决实际问题；正确理解留数的定义及留数定理，会用留数计算实积分（精讲）；

5.理解并掌握分式线性映射概念及其各种性质，并学会应用（粗讲）。

本课程主要采用以章为主的单元组织教学法，以课堂讲授为主，结合多媒体教学软件进行辅助教学，教学中强调理论与实际并重，各章安排一定课时的习题课，课前要求学生提前预习，课后按时完成每章书后的习题，作为作业进行上交，记录成绩，同时教师安排时间集中对学生进行辅导答疑。

三、各教学环节学时分配

教学课时分配

序号

章节内容

讲课

实验

其他

合计

1

复数与复变函数

6

1

7

2

解析函数

6

1

7

3

复变函数的积分

8

1

9

4

级数

7

1

8

5

留数

7

2

9

6

共形映射

6

2

8

合计

40

8

48

四、教学内容

第一章复数与复变函数

第一节复数及其代数运算

复数的概念

复数的代数运算

第二节复数的几何表示

1.复平面

2.复球面

第三节复数的乘幂与方根

乘积与商

幂与根

第四节区域

区域的概念

单连通域与多连通域

第五节复变函数

复变函数的定义

映射的概念

第六节复变函数的极限和连续性

函数的极限

函数的连续性

教学重点、难点：重点是复变函数表示法之间的转换，区域的确定，复变函数的概念。难点是复球面概念，复变函数理解及复平面上两个集合间的映射，以及复变函数的极限和连续性。

课程的考核要求：熟练掌握复数的模与辐角、复数的三种表示、复数的基本性质，掌握复数的乘幂与方根的求法，会用复数表示平面图形，会用复数解决一些简单的几何问题。理解平面点集的几个基本概念，理解区域与约当曲线的概念，了解约当定理，会区分单连通区域与多连通区域。掌握复变函数的定义，理解映射的概念，理解复变函数与两个实二元函数之间的关系。理解复变函数的极限与连续性概念，知道它们与实一元函数极限与连续的异同。

课程思政切入点：介绍复数及复变函数的发展历程，使学生认识到数学来源于实践又服务于实践，树立辩证唯物主义世界观。同时，使学生了解数学探索道路总有曲折，不是一蹴而就的，是一代代数学家的努力和探索，才造就了今天的数学大厦。

复习思考题：

复变函数与实变函数有什么关系？

为什么在复变函数的极限概念中，要强调QUOTEz_啋z0z_啋z0

复函数收敛与其实部Re，虚部Im收敛的关系？

第二章解析函数

第一节解