半角模型(初三数学最全最详细半角模型).pdfVIP

几何模型07——半角模型

一、正方形中夹半角模型（45°）

例1.如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°．

求证：（1）EF＝BE+DF；

变式1.如图，已知正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB、BC边上的点，

且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．

（1）求证：EF＝MF

（2）若AE＝2，求FC的长．

变式2.在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠A＝∠B＝90°，

AB＝BC＝20，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE的长．

变式3.已知，正方形ABCD，M在CB延长线上，N在DC延长线上，

∠MAN＝45°．求证：MN＝DN﹣BM．

变式4.在平面直角坐标系中，已知A（x，y），点A作AB⊥y轴，垂足为B．若

在x轴正半轴上取一点M，连接BM并延长至N，以BN为直角边作等腰Rt

△BNE，∠BNE＝90°，过点A作AF∥y轴交BE于点F，连接MF，设OM

＝a，MF＝b，AF＝c，试证明：＝．

例2.如图所示，过正方形ABCD的顶点A在正方形ABCD的内部作∠EAF＝45°，

E、F分别在BC、CD上，连接EF，作AH⊥EF于点H

求证：AH＝AB．

变式1.已知△AMN中，∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝3，NH＝7，

求AH的长．

变式2.已知：如图，在正方形ABCD中，M在CB延长线上，N在DC延长线上，

∠MAN＝45°，AH⊥MN，垂足为H，求证：AH＝AB．

二、等腰直角三角形中的夹半角模型（45°）

例3.已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E在斜边AB上，且∠

DCE＝45°，证明：DE2＝BE2+AD2；．

变式1.如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边

BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，则MN的长为．

变式2.如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F是边BC所在直线上与点B，C不

重合的两点．∠BAC＝90°，∠EAF＝135°，证明：EF2＝EC2+BF2

三、其他半角模型

例4.在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，

，

且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC，DM≠DN证明：MN＝BM+NC．

变式1.如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F是边BC所在直线上与点B，C不

重合的两点．

∠BAC＝60°，∠EAF＝30°，已知BE＝3，CF＝5，求线段EF的长度；

例5.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、

CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+FD；

变式1.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边

BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+FD；

变式2.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是

边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD．证明：EF＝BE﹣FD，

变式3.已知，如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，E，F分

别是线段BC，CD上的点，且BE+FD＝EF．求证：∠EAF＝∠BAD．

变式4.已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．点M在BC上，点N在BC

的上方，且∠MBN＝∠MAN＝60°，求证：MC＝BN+MN；