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三角恒等式证明9种基本技巧

三角恒等式证明9种基本技巧

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三角恒等式证明9种基本技巧

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三角恒等式证明9种基本技巧

三角恒等式的证明是三角函数中一类重要问题，这类问题主要以无条件和有条件恒等式出现。根据恒等式的特点，可采用各种不同的方法技巧，技巧常从以下各个方面表示出来。

1．化角

观察条件及目标式中角度间联系，立足于消除角间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一,或有利于公式的运用，化角是证明三角恒等式时一种常用技巧。

例1求证：tanEMBEDEquation.3x-tanEMBEDEquation.3x=EMBEDEquation.3

思路分析：本题的关键是角度关系：x=EMBEDEquation.3x-EMBEDEquation.3x,可作以下证明：

2．化函数

三角函数中有几组重要公式，它们不仅揭示了角间的关系，同时揭示了函数间的相互关系，三角变换中,以观察函数名称的差异为主观点，以化异为为同(如化切为弦等)的思路，恰当选用公式，这也是证明三角恒等式的一种基本技巧。

例2设EMBEDEquation.3+EMBEDEquation.3=1,求证：tanA、tanC、tanB顺次成等比数列。

思路分析：欲证tan2C=tanA·tanB，将条件中的弦化切是关键。

3．化幂

应用升、降幂公式作幂的转化，以便更好地选用公式对面临的问题实行变换，这也是三角恒等式证明的一种技巧。

例3求证cos4α-4cos2α+3=8sin4α

思路分析：应用降幂公式,从右证到左：

4．化常数

将已知或目标中的常数化为特殊角的函数值以适应求征需要，这方面的例子效多.如

1=sin2α+cos2α=sec2α-tan2α=csc2α—cot2α=tanαcotα=sinαcscα=cosαsecα，1=tan450=sin900=cos00等等.如何对常数实行变换，这需要对具体问题作具体分析。

例4求证EMBEDEquation.3=EMBEDEquation.3

思路分析:将左式分子中“1”用“sin2α+cos2α”代替,问题便迎刃而解。

5．化参数

用代入、加减、乘除及三角公式消去参数的方法同样在证明恒等式时用到。

例5已知acos2α+bsin2α=mcos2β，asin2α+bcos2α=nsin2β，mtan2α=ntan2β(β≠nπ)

求证：（a+b)(m+n)=2mn

6．化比

一些附有积或商形式的条件三角恒等式证明问题,常可考虑应用比例的有关定理。用等比定理，合、分比定理对条件加以变换，或顺推出结论,或简化条件，常常可以为解题带来方便。

例6已知(1+EMBEDEquation.3cosα）(1-EMBEDEquation.3cosβ）=1-EMBEDEquation.32(EMBEDEquation.3≠0，1)。求证：tan2EMBEDEquation.3=EMBEDEquation.3tan2EMBEDEquation.3

思路分析：综观条件与结论，可考虑从条件中将EMBEDEquation.3分离出来，以结论中EMBEDEquation.3为向导，应用合比定理即可达到论证之目的。

7．化结构

观察等式左右结构上的差异，立足于统一结构形式也是三角恒等式的一种技巧。

例7设A+B+C=π，求证:sinA+sinB+sinC=4cosEMBEDEquation.3cosEMBEDEquation.3cosEMBEDEquation.3

思路分析：这里等式左右分别为和积的形式,现将左边化成积。

8．化拆项

这一类恒等式可与数学求和结合起来，常拆项相消法。

例8求cosx+cos2x+…+cosnx=EMBEDEquation.3

思路分析:左边同乘以sinEMBEDEquation.3,去括号，积化和差可得

9。数学归纳法

与自然数有关的命