数学导学案：任意角的三角函数（第课时）.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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第1课时三角函数的定义

1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及其应用.

2。能判断任意角的三角函数值的符号。

3.掌握公式一及其应用。

1。任意角的三角函数

（1)单位圆：在直角坐标系中，称以________为圆心,以为半径的圆为单位圆。

（2）锐角的三角函数:如图所示，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=a，AB=b，OB=r,设∠BOA=α，则有：

α的三角函数

定义

正弦

sinα＝eq\f（AB，OB)＝

余弦

cosα＝eq\f（OA,OB）＝

正切

tanα＝eq\f（AB，OA)＝

(3）任意角的正弦、余弦、正切：如图所示，α是任意角，以α的顶点O为坐标原点，以α的始边为x轴的非负半轴,建立平面直角坐标系.

设P（x，y)是α的终边与单位圆的交点，则有：

α的三角函数

定义

记法

形式

正弦

______

sinα

sinα＝y

余弦

______

cosα

cosα＝x

正切

______(x≠0)

tanα

tanα＝eq\f(y，x）（x≠0)

利用角α终边上任意一点的坐标定义三角函数如下：

设α是一个任意角，α的终边上任意一点P(除原点外)的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝eq\r（x2＋y2)）,那么：

①比值eq\f(y,r)叫做α的正弦，记作sinα,即sinα＝eq\f(y，r)。

②比值eq\f（x，r)叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝eq\f（x，r）。

③比值eq\f(y,x）叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝eq\f（y,x)。(x≠0）

（4）定义:当α＝(k∈Z）时，tanα无意义.除此之外，对于每一个确定的α，都分别有确定的正弦值、余弦值、正切值与之对应，所以这三个对应法则都是以角α为，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数，这三个函数统称为,分别记作y＝sinx，y＝cosx,y＝tanx.

由于角的集合与实数集之间建立了一一对应关系，三角函数可以看作是以实数为自变量的函数,即实数→角（其弧度数等于这个实数)→三角函数值(实数)，其关系如下图所示：

（5)定义域：如表所示，

三角函数

解析式

定义域

正弦函数

y＝sinx

_______

余弦函数

y＝cosx

____

正切函数

y＝tanx

_______

【做一做1－1】若角α终边上有一点P(0，3),则下列式子无意义的是（)

A.tanα B.sinα C.cosα D.sinαcosα

【做一做1－2】若角α的终边与单位圆相交于点eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（\r(2），2）,－\f(\r（2)，2)）)，则sinα的值为（）

A。eq\f（\r（2),2) B.－eq\f(\r（2），2) C。eq\f(1,2） D.－1

2。三角函数值的符号

sinα，cosα，tanα在各个象限的符号如下：

正弦、余弦和正切函数在各象限的符号可用以下口诀记忆：

“一全正,二正弦,三正切，四余弦”。

其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正,在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正.

【做一做2】已知α是第三象限角，设sinαcosα＝m，则有（)

A.m＞0 B.m＝0 C。m＜0 D。m

3。公式一（k∈Z）

sin（α＋2kπ)＝________，

cos（α＋2kπ）＝________，

tan（α＋2kπ)＝________.

该组公式说明：终边相同的角的同名三角函数值相等；如果给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的（不存在者除外),反过来，如果给定一个三角函数值,却有无数多个角与之对应.

【做一做3－1】已知sin5。1°＝m,则sin365。1°＝（）

A.1＋m B。－m C.m D.与m无关

【做一做3－2】已知α与β的终边相同，则下列正确的是（)

A.sinα＝－sinβ B。cosα＝cosβ C.tanαtanβ＝0 D。tanα＝－tanβ

答案:1．(1)原点单位长度(2)eq\f（b,r）eq\f(a，r)eq\f（b,a)（3)yxeq\f(y，x)（4）eq\f（π,2）＋kπ唯一自变量三角函数(5)RR{x|x≠kπ＋eq\f（π，2），k∈Z}

【做一做1－