数学导学案：任意角的正弦函数、余弦函数的定义.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式

4。1任意角的正弦函数、余弦函数的定义

问题导学

1．利用定义求任意角的正弦、余弦值

活动与探究1

已知角α的终边在射线y＝2x(x＞0)上，求角α的正弦函数值、余弦函数值．

迁移与应用

在直角坐标系的单位圆中，α＝eq\f(π，6）．

(1)画出角α；

（2）求出角α的终边与单位圆的交点坐标．

(1）已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时,常用的解题方法有以下两种：

①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义直接求出相应的三角函数值．

②注意到角的终边为射线，取射线上任一点坐标（a,b)，则对应角的正弦值sinα＝eq\f（b，\r(a2＋b2）),余弦值cosα＝eq\f(a，\r(a2＋b2)）．

（2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．

2．正弦值与余弦值的符号判断及应用

活动与探究2

(1）判断符号：sin340°cos265°;

(2）若sin2α＞0,且cosα＜0,试确定α所在的象限．

迁移与应用

（1）判断符号：①sin105°·cos230°__________0；

②sineq\f（5π,4）·coseq\f（4π,5）__________0．

(2)若cosα＞0，且sinα＜0，则α是第__________象限角．

对于确定α角所在象限问题，应首先确定正弦、余弦函数的符号，然后确定角α所在的象限，则它们所在象限的公共部分即为所求．

3．与正弦、余弦函数有关的定义域问题

活动与探究3

求下列函数的定义域：

（1)y＝eq\f(sinx＋cosx，sinx）；

(2）y＝lgsin2x＋eq\r(9－x2）．

迁移与应用

函数y＝eq\r(sinx)＋eq\r（－cosx)的定义域是()．

A．(2kπ，（2k＋1）π）（k∈Z)

B．eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（2kπ＋\f(π,2)，?2k＋1?π))(k∈Z）

C．eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2），?k＋1?π）)(k∈Z)

D．［2kπ,(2k＋1）π]（k∈Z）

求解三角函数定义域的解题策略

求解含有三角函数式的函数的定义域问题，和求定义域的问题的解决方法是一致的，即通过列不等式或不等式组，然后解不等式或不等式组,最后写出函数的定义域．凡涉及三角函数的定义域问题，在求解时，必须考虑到三角函数本身一定有意义．在求解一个固定的集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以通过取特殊值或画数轴来解决．

当堂检测

1．若sinθcosθ＞0，则θ在（）．

A．第一或第二象限

B．第一或第三象限

C．第一或第四象限

D．第二或第四象限

2．已知角α的终边过点P(－1，2）,则cosα的值为（）．

A．－eq\f(\r(5),5)B．－eq\r(5）C．eq\f(2\r（5),5）D．eq\f(\r（5）,2)

3．若α是第三象限角，则eq\f(|sinα|，sinα）－eq\f（cosα，｜cosα|）＝()．

A．0B．1C．2D．－2

4．函数y＝eq\r(－2sinx)的定义域是__________．

5．若点P（－4a,3a)（a≠0)为角α终边上一点，求sinα，cos

提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。

答案：

课前预习导学

【预习导引】

1．原点单位长

2．纵坐标v＝sinα横坐标u＝cosα全体实数［－1,1]

预习交流1略

预习交流2（1）eq\f(1，2)eq\f(\r（3),2)

（2)－eq\f(\r(10),10）－eq\f（3\r（10)，10）解析：x＝－3,y＝－1，r＝eq\r（10),

∴sinA＝eq\f(－1,\r(10）)＝－eq\f(\r(10)，10）,

cosA＝eq\f（－3，\r(10))＝－eq\f（3\r(10），10）。

3．＋＋－－＋－－＋

预习交流3（1)提示:根据正弦函数与余弦函数的定义可知，正弦函数与余弦函数的函数值的符号由角α终边上点的坐标确定，而角终边上点的坐标符号又由终边所在的位置确定，因此要确定角α的正弦值或余弦值的符号，只需确定角α终边所在的位置．

(2）＜＜

课堂合作探究

【问题导学】

活动与探究1sinα