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快速傅里叶变换

快速傅里叶变换（FFT）是根据计算量的最小化原理来设计和实施离散傅里

叶变换(DFT)计算的方法。1965年，库利（T.W.Cooley）和图基（J.W.tukey）发

表了著名的《计算机计算傅里叶级数的一种算法》论文。从此掀起了快速傅里叶

变换计算方法研究的热潮。快速傅里叶变换（FFT）的出现，实现了快速、高效

的信号分析和信号处理，为离散傅里叶变换(DFT)的广泛应用奠定了基础。

1.1离散傅里叶变换(DFT)的计算

x(n)Mx(n)N

设是一个长度为的有限长序列，则定义的点离散傅里叶变换为

N1

kn

X(k)DFT[x(n)]x(n)WNk0,1,,N1

n0

其中

由于计算一个X(k)值需要N次复乘法和(N-1)次复数加法，因而计算N个

X(k)值，共需N2次复乘法和N(N-1)次复加法。每次复乘法包括4次实数乘法和

2次实数加法，每次复加法包括2次实数加法，因此计算N点的DFT共需要4N2

次实数乘法和(2N2+2N·(N-1))次实数加法。当N很大时，这是一个非常大的计

算量。

1.2减少DFT计算量的方法

Wk

减少DFT的计算量的主要途径是利用的性质和计算表达式的组合使用，

N

DFTNDFT

其本质是减少计算的点数以便减少的计算量。

WNk的性质：

*

1WnkWnk(2)WnkW(Nn)kWn(Nk)

（）对称性：NN周期性：NNN

(3)可约性：WnkWmnkWnkWnk/m

NmNNN/m

(4)特殊点：0WN/21W(kN/2)Wk

W1NNN

N

N2N2222

kj(k)jkjNjkjk

2N2N2NNjNk

选择其中一个证明WNeeeeeeWN

FFTN

算法是基于可以将一个长度为的序列的离散傅里叶变换逐次分解为

较短的离散傅里叶变换来计算这一基本原理的。这一原理产生了许多不同的算

法，但它们在计算速度上均取得了大致相当的改善。

在这里讨论两类基本的FFT算法。

第一类称为按时间抽取(Decimation-in-Time)的基2FFT算法

第二类称为按频率抽取(Decimation-in-Frequency)的基2FFT算法

2.1按时间抽选(DIT)的基-2FFT算法库利·图基算法()

这种算法简称为时间抽选FFT算法，其基本出发点是，利用旋转因子WNk

的对