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快速傅里叶变换
快速傅里叶变换(FFT)是根据计算量的最小化原理来设计和实施离散傅里
叶变换(DFT)计算的方法。1965年,库利(T.W.Cooley)和图基(J.W.tukey)发
表了著名的《计算机计算傅里叶级数的一种算法》论文。从此掀起了快速傅里叶
变换计算方法研究的热潮。快速傅里叶变换(FFT)的出现,实现了快速、高效
的信号分析和信号处理,为离散傅里叶变换(DFT)的广泛应用奠定了基础。
1.1离散傅里叶变换(DFT)的计算
x(n)Mx(n)N
设是一个长度为的有限长序列,则定义的点离散傅里叶变换为
N1
kn
X(k)DFT[x(n)]x(n)WNk0,1,,N1
n0
其中
由于计算一个X(k)值需要N次复乘法和(N-1)次复数加法,因而计算N个
X(k)值,共需N2次复乘法和N(N-1)次复加法。每次复乘法包括4次实数乘法和
2次实数加法,每次复加法包括2次实数加法,因此计算N点的DFT共需要4N2
次实数乘法和(2N2+2N·(N-1))次实数加法。当N很大时,这是一个非常大的计
算量。
1.2减少DFT计算量的方法
Wk
减少DFT的计算量的主要途径是利用的性质和计算表达式的组合使用,
N
DFTNDFT
其本质是减少计算的点数以便减少的计算量。
WNk的性质:
*
1WnkWnk(2)WnkW(Nn)kWn(Nk)
()对称性:NN周期性:NNN
(3)可约性:WnkWmnkWnkWnk/m
NmNNN/m
(4)特殊点:0WN/21W(kN/2)Wk
W1NNN
N
N2N2222
kj(k)jkjNjkjk
2N2N2NNjNk
选择其中一个证明WNeeeeeeWN
FFTN
算法是基于可以将一个长度为的序列的离散傅里叶变换逐次分解为
较短的离散傅里叶变换来计算这一基本原理的。这一原理产生了许多不同的算
法,但它们在计算速度上均取得了大致相当的改善。
在这里讨论两类基本的FFT算法。
第一类称为按时间抽取(Decimation-in-Time)的基2FFT算法
第二类称为按频率抽取(Decimation-in-Frequency)的基2FFT算法
2.1按时间抽选(DIT)的基-2FFT算法库利·图基算法()
这种算法简称为时间抽选FFT算法,其基本出发点是,利用旋转因子WNk
的对
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