【2019年整理】多元函数的极限与连续.pptVIP

1多元函数的极限与连续

一、n维欧氏空间

二、多元函数的极限与连续性

累次极限

设二元函数在点的邻域内有定义，

f(x,y)P0(x0,y0)U(P0,)

先暂时把看成常量当xx时，limf(x,y)存在，

y,0

xx0

记为(y)limf(x,y),若存在记为

lim(y),A,

xx0

yy0

则称A为f(x,y)在点先对后对的累次极限，

P0(x0,y0)xy

记为limlimf(x,y)A



yy0xx0

类似的定义在点先对后对的累次极限，

,f(x,y)P0(x0,y0)yx

limlimf(x,y)A



xx0yy0

二重极限limf(x,y)与累次极限limlimf(x,y)

xx0xx0yy0

yy0

及limlimf(x,y)不同.

yy0xx0

如果它们都存在,则三者相等.

仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.

xy

例如,f(x,y),显然

x2y2

limlimf(x,y)0,limlimf(x,y)0

x0y0y0x0

但由例2知它在(0,0)点二重极限不存在.

x2y2

练习(1)求f(x,y)在(0,0)处的两个累次极限.

x2y2

2

解y

limlimf(x,y)lim1,

y0x0y0y2

x2

limlimf(x,y)lim1,

x0y0x0x2

1m2

显然，若取ymx,limf(x,y)lim不存在！

x0x02

y0y01m

x2y

练习(2)求f(x,y)在(0,0)处的二重极限和

x4y2

两个累次极限.

解x2yx2y

limlim0,limlim420,

y0x0x4y2x0y0xy

当(x,y)沿直线ymx趋于(0，0)时，

mx3mx

limf(x,mx)limlim0.

x0x0x4m2x2x0x2m2

当(x,y)沿抛物线yx2趋于(0，0)时，

x41

limf(x,x2)lim.故二重极限不存在.

x0x02x42

1

练习(3)求f(x,y)xsin在(0,0)处的两个

y

累次极限和二重极限.

1

解limlimxsinlim00,

y0x0yy0

1

limlimxsin不存在,

x0y0y

1

limxsin0.