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3.3.1利用导数研究函数的单调性_教案1-湘教版数学选修1-1

授课内容

授课时数

授课班级

授课人数

授课地点

授课时间

课程基本信息

1.课程名称：利用导数研究函数的单调性

2.教学年级和班级：高中一年级，数学选修班

3.授课时间：2023年10月15日

4.教学时数：1课时

本节课将结合湘教版数学选修1-1教材，引导学生利用导数研究函数的单调性，通过讲解和例题分析，使学生掌握函数单调性与导数之间的关系，能够运用导数判断函数的单调区间。

核心素养目标

1.培养学生逻辑推理能力，通过导数判断函数的单调性，理解数学概念之间的内在联系。

2.提升学生数学抽象素养，能够从实际问题中抽象出函数模型，并运用导数工具进行分析。

3.增强学生的数学建模能力，学会将数学知识应用于解决实际问题，提高解决复杂问题的能力。

教学难点与重点

1.教学重点：

-导数的概念及其几何意义：本节课的核心在于理解导数是函数在某一点处切线斜率的定义，以及它在几何上表示曲线切线的斜率。

举例：通过具体函数图像，如y=x^2，展示在x=1处的导数如何表示该点切线的斜率，强调导数与曲线斜率的关系。

-利用导数判断函数单调性：重点掌握如何通过一阶导数的正负来判断函数的单调递增或单调递减区间。

举例：对函数f(x)=x^3-3x^2+4，计算其导数f(x)=3x^2-6x，通过分析导数的正负变化，确定函数的单调区间。

2.教学难点：

-导数计算法则的灵活运用：学生在计算复杂函数的导数时可能会遇到困难，特别是在复合函数、隐函数求导等方面。

举例：对于复合函数f(x)=(2x+3)^5，学生可能不熟悉链式法则，需要详细讲解如何分步骤求导。

-函数单调性与导数关系的理解：学生可能会混淆导数为正或为负与函数单调性的关系，以及如何处理导数为零的点。

举例：对于函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1，其导数f(x)=3x^2-12x+9，当f(x)=0时，需要进一步分析二阶导数或图像来确定该点是否为局部极值点，从而判断单调性。

教学方法与策略

1.结合讲授法与学生互动讨论，首先通过讲授法介绍导数的基本概念和计算方法，随后引导学生进行小组讨论，分析具体例题，加深对导数应用的理解。

2.设计案例分析活动，让学生通过实际案例来探讨函数单调性与导数之间的关系，如分析不同函数的导数图像，讨论其单调性变化。

3.利用多媒体工具，如电子白板和教学软件，动态展示函数图像和导数变化，增强学生的直观感受和空间想象力。通过互动式问答和即时反馈，提高学生的参与度和学习效果。

教学过程设计

1.导入环节（5分钟）

-教师通过展示几个简单的函数图像，如线性函数、二次函数，并询问学生这些函数的单调性，激发学生的兴趣。

-提出问题：“我们如何判断一个函数在其定义域内的单调性？”

-学生思考并回答，教师引导学生思考导数与函数单调性之间的关系。

2.讲授新课（15分钟）

-教师介绍导数的概念，通过电子白板动态展示导数与函数图像的关系。

-通过具体的例子，如f(x)=x^2，解释一阶导数的正负如何指示函数的单调递增或递减区间。

-讲解导数为零的点及其在判断单调性中的意义，如极值点和拐点。

-用例题演示如何利用导数判断函数的单调性，如f(x)=x^3-3x^2+4。

3.巩固练习（10分钟）

-学生独立完成几个练习题，判断给定函数的单调区间。

-教师选取几名学生上黑板展示解题过程，并对学生的答案进行点评和指导。

-小组讨论：学生分小组，互相检查和讨论练习题的答案，共同解决疑惑。

4.师生互动环节（10分钟）

-教师提出思考性问题：“如何利用导数研究实际生活中的函数单调性？”

-学生分享自己的想法，教师引导学生将数学知识与现实生活联系起来。

-教师给出一个实际案例，如物体运动的速度与时间关系，让学生尝试用导数分析其单调性。

-学生分组讨论，尝试构建模型并进行分析，教师巡回指导。

5.课堂总结（5分钟）

-教师总结本节课的核心内容，强调导数在研究函数单调性中的作用。

-学生提出本节课的疑问，教师进行解答。

-教师布置作业，要求学生复习导数的计算规则，并尝试分析更多函数的单调性。

整个教学过程注重师生互动和学生参与，通过实际问题引入新知识，激发学生的学习兴趣，同时通过练习和讨论巩固学生对新知识的理解和掌握，培养学生的逻辑推理能力和数学建模能力。

教学资源拓展

1.拓展资源：

-微积分发展历史：介绍微积分的起源和发展，包括牛顿和莱布尼茨对微积分的贡献，以及微积分在科学研究中的应用。

-导数在实际问题中的应用：收集物理、工程、经济学等领域中利用导数解决实际问题的案例