2025届高考数学一轮总复习课时作业40基本不等式含解析苏教版.docVIP

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课时作业40基本不等式

一、选择题

1．(2024·河南豫北联考)设a0，则a＋eq\f(a＋4,a)的最小值为(D)

A．2eq\r(a＋4) B．2

C．4 D．5

解析：a＋eq\f(a＋4,a)＝a＋1＋eq\f(4,a)≥1＋2eq\r(a·\f(4,a))＝5，当且仅当a＝2时取等号，故选D.

2．(2024·浙江卷)设a0，b0，则“a＋b≤4”是“ab≤4

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：因为a0，b0，所以a＋b≥2eq\r(ab)，由a＋b≤4可得2eq\r(ab)≤4，解得ab≤4，所以充分性成立；当ab≤4时，取a＝8，b＝eq\f(1,3)，满意ab≤4，但a＋b4，所以必要性不成立．所以“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A.

3．已知a0，b0，则eq\f(a＋b,2)，eq\r(ab)，eq\r(\f(a2＋b2,2))，eq\f(2ab,a＋b)中最小的是(D)

A.eq\f(a＋b,2) B.eq\r(ab)

C.eq\r(\f(a2＋b2,2)) D.eq\f(2ab,a＋b)

解析：∵a0，b0，∴eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，eq\f(2ab,a＋b)≤eq\f(2ab,2\r(ab))＝eq\r(ab).又∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2，

∴eq\r(\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2).∴eq\r(\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)，故选D.

4．若函数f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)(x2)在x＝a处取得最小值，则a等于(C)

A．1＋eq\r(2) B．1或3

C．3 D．4

解析：∵x2，∴x－20，∴f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)＝x－2＋eq\f(1,x－2)＋2≥2eq\r(?x－2?·\f(1,x－2))＋2＝4，当且仅当x－2＝eq\f(1,x－2)且x2，即x＝3时等号成立，∴a＝3，故选C.

5．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(D)

A．[0,2] B．[－2,0]

C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]

解析：∵1＝2x＋2y≥2eq\r(2x·2y)＝2eq\r(2x＋y)

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当2x＝2y＝\f(1,2)，即x＝y＝－1时等号成立))，

∴eq\r(2x＋y)≤eq\f(1,2)，∴2x＋y≤eq\f(1,4)，得x＋y≤－2.

6．已知a＋b＝t(a0，b0)，t为常数，且ab的最大值为2，则t＝(C)

A．2B．4C．2eq\r(2)D．2eq\r(5)

解析：∵a0，b0，∴ab≤eq\f(?a＋b?2,4)＝eq\f(t2,4)，当且仅当a＝b＝eq\f(t,2)时取等号．∵ab的最大值为2，∴eq\f(t2,4)＝2，t2＝8.又t＝a＋b0，∴t＝eq\r(8)＝2eq\r(2).

7．已知f(x)＝eq\f(x2－2x＋1,x)，则f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上的最小值为(D)

A.eq\f(1,2) B.eq\f(4,3)C．－1 D．0

解析：f(x)＝eq\f(x2－2x＋1,x)＝x＋eq\f(1,x)－2≥2－2＝0，当且仅当x＝eq\f(1,x)，即x＝1时取等号．又1∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，所以f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上的最小值是0.

8．(2024·永州模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若eq\f(c,sinB)＋eq\f(b,sinC)＝2a，则△ABC是(C)

A．等边三角形 B．锐角三角形

C．等腰直角三角形 D．钝角三角形

解析：∵eq\f(c,sinB)＋eq\f(b,sinC)＝2a，∴eq\f(sinC,sinB)＋eq\f(sinB,sinC)＝2sinA，又eq\f(sinC,sinB)＋eq\f(sinB,sinC)≥2eq\r(\f(sinC,sinB)·\f(sinB,sinC))＝2，当且仅当eq\f(sinC,sinB)＝eq\f