2024版.新高考版 数学　等比数列(27).pdf

高考

数学

专题七数列

7.3等比数列

基础篇

考点一等比数列及其前n项和

1.等比数列的相关概念

1)定义:①一般,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都

等于同一常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的

*

公比,公比通常用字母q(q≠0)表示.② =q(n≥2,n∈N,q≠0).

n-1*n-m*

2)通项公式:a=aq(n∈N,a,q≠0).推广:a=aq(m,n∈N,m≠n).

n11nm

3)等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么称G

为a与b的等比中项,即G=± (a,b同号).

2.等比数列的前n项和公式

S= 

n

考点二等比数列的性质

1.等比数列的单调性

设等比数列{a}的首项为a,公比为q.

n1

1)当q1,a0或0q1,a0时,数列{a}为递增数列;

11n

2)当q1,a0或0q1,a0时,数列{a}为递减数列;

11n

3)当q=1时,数列{a}是常数列;

n

4)当q0时,数列{a}是摆动数列.

n

2.等比数列的运算性质

*

1)若{a}是等比数列,且m+n=p+q,则aa=aa,其中m,n,p,q∈N.

nmnpq

特别,若2m=p+q,则aa= .反之,不一定成立.

pq

*

2)若{a}是等比数列,公比为q,则a,a,a,…(k,m∈N)是等比数列,公比

nkk+mk+2m

m

为q.

3)若数列{a},{b}是两个项数相同的等比数列,则数列{λa},{ }, ,{a

nnnn

*

·b}和 (λ≠0,n∈N)是等比数列.

n

3.等比数列的前n项和的性质

1)当q≠-1(或q=-1且k为奇数)时,S,S-S,S-S,…是等比数列.

k2kk3k2k

注意:当q=-1且k为偶数时,S,S-S,S-S,…不是等比数列.

k2kk3k2k

2)若a·a·…·a=T,则T, , ,…成等比数列.

12nnn

3)若数列{a}的项数为2n,S与S分别为偶数项与奇数项的和,则 =q;若

n偶奇

项数