2024版.新高考版 数学　二项式定理(46).pdf

高考

数学

专题十计数原理

10.2二项式定理

基础篇

考点二项式定理

1.二项式定理

nnn-11n-kkn*

(a+b)= a+ ab+…+ ab+…+ b(n∈N).

n

这个公式所表示的定理叫做二项式定理,等号右边的多项式叫做(a+b)的

n-kk

二项展开式, (k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数.二项展开式中的 ab叫

n-kk

做二项展开式的通项,用T表示,即通项为展开式的第k+1项:T= ab.

k+1k+1

n

2.(a+b)的展开式的特点

1)项数为n+1.

2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数之和为n.

3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂

排列,从第一项开始,次数由0逐项增1直到n.

4)二项式系数从 , 一直到 , .

3.二项式系数的性质

1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 = .

2)增减性与最大值:对于二项式系数 (k=0,1,2,…,n),当k 时,二项式

系数是递增的;当k 时,二项式系数是递减的.

当n是偶数时,二项展开式的中间一项 的二项式系数最大,即最

大的二项式系数为 ;当n是奇数时,二项展开式的中间两项

 的二项式系数最大,即最大的二项式系数为 和

 .

3)二项式系数的和

nn

(a+b)的展开式的各个二项式系数的和等于2,即 + + +…+ +…+

n

 =2.

二项展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,

n-1

即 + + +…= + + +…=2.

综合篇

考法一求二项展开式中的特定项或特定项的系数

求二项展开式中指定项或指定项的系数,通常是根据已知条件,利用

通项求k,再求T或T的系数,有时还需先求幂指数n,再求k,才能求出T

k+1k+1k+1

或T的系数.

k+1

254

例1

(2022江苏常州高级中学模拟)(x-x+1)(x-1)的展开式中x的系数为

 (

)

A.-25

B.25

C.-5

D.5

252555

解析

(x-x+1)(x-1)=x(x-1)-x·(x-1)+(x-1),

55-kk