专题02 函数和基本函数及性质（五大题型解析版）.docxVIP

专题02函数及基本函数的性质

题型01函数的性质

1．（2024·广东中山·二模）已知函数，若存在最小值，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】当时，，故当时，有最小值为；

时，单调递减，所以，

由题意存在最小值，则，解得，即的最大值为.

故选：A

2.（2024·广东·模拟预测）关于函数，下列说法正确的个数是（???）．

①是奇函数；②是周期函数；③有零点；④在上单调递增．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【详解】对于①，函数定义域为，且，

则为奇函数，故①正确；

对于②，若是周期函数，设其最小正周期为，则，

即，变形得，，对任意恒成立，

令，可得，，设，而，

，所以只有唯一的解，故由，

由此可知它不是周期函数，故②错误；

对于③，因为，在上有零点，故③正确；

对于④，由于，故在上单调递增，故④正确.

故选：C.

3.（2024·广东清远·二模）若函数为奇函数，则实数（????）

A．1 B． C．2 D．

【答案】B

【详解】由题意可得，，，

，

整理可得，对任意都成立，，.

故选：B

4.（2024·广东珠海·二模）已知，为奇函数，且，则（????）

A．4047 B．2 C． D．3

【答案】C

【详解】由函数为奇函数，可得关于点对称，且，

所以，即，

又因为，可得，

即，则，所以，

所以函数是周期为的周期函数，

因为，，可得，，

所以.

故选：C.

5．（2024·广东肇庆·二模）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】对于选项A，当时，，当时，，即，所以选项A不满足题意，

对于选项B，因在区间上不单调，所以选项B不满足题意，

对于选项C，因为图象不关于轴对称，所以选项C不满足题意，

对于选项D，令，易得其定义域为，关于原点对称，

又，所以为偶函数，

当时，，又在区间上单调递增，所以选项D满足题意，

故选：D.

6.（2024·广东惠州·二模）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】对于A：定义域为，为非奇非偶函数，故A错误；

对于B：定义域为，为奇函数，但是函数在上单调递减，故B错误；

对于C：为奇函数，定义域为，但是函数在上不单调，故C错误；

对于D：令定义域为，且，

所以为奇函数，且当时，函数在上单调递增，故D正确.

故选：D

7.（2024·广东湛江·二模）（多选）已知函数的定义域为，不恒为零，且，则（????）

A．

B．为偶函数

C．在处取得极小值

D．若，则

【答案】ABD

【详解】对于选项A，令，得，解得或，

当时，令，则，则，这与不恒为零矛盾，所以，故选项A正确，

对于选项B，令，则，即，

即为偶函数，所以选项B正确，

对于选项C，取，满足题意，此时不是的极小值点，所以选项C错误，

对于选项D，令，得，

若，则，则，

则，所以选项D正确，

故选：ABD.

8.（2024·广东·二模）（多选）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【详解】对于A：，为偶函数，

当时，，，

的单调递减区间为，

的递增区间为，

而，

所以在上单调递增，故A正确；

对于B：，为偶函数，

当时，，，

的单调递增区间为，

的单调递减区间为，

而，

所以在上单调递减，故B错误；

对于C：，为偶函数，

当时，，

的单调递减区间为，

则的单调递增区间为，

而，

所以在上单调递增，故C正确；

对于D：，

所以为非奇非偶函数，故D错误.

故选：AC.

9．（2024·广东·模拟预测）（多选）关于函数的周期性，下列说法正确的有（????）

A．是周期函数，最小正周期为

B．是周期函数，最小正周期为

C．是周期函数，最小正周期为

D．是周期函数，最小正周期为

【答案】CD

【详解】对于A，假设是周期函数，则对任意实数，存在非零常数，使得，

即，显然对任意实数不恒成立，

因此不是周期函数，A错误；

对于B，任意实数，成立，

因此是周期函数，是其周期，B错误；

对于C，函数的最小正周期依次为，

显然，如，左边为，而右边为1，

而恒成立，

因此是周期函数，最小正周期为，C正确；

对于D，函数的最小正周期依次为，

显然，而恒成立，

因此是周期函数，最小正周期为，D正确.

故选：CD

10．（2024·广东江门·二模）已知函数，则下列结论中正确的是（????）

A．函数有且仅有一个零点 B．函数是奇函数

C．在上单调递减 D．函数的最小值为

【答案】CD

【详解】函数，

对于A，由，得或，A错误；

对于B，，而，，函数不是奇函数，B错误；

对于C，函数在上单调递减，在上单调递减，且，

因此在上单调递减，C正确；

对于D，当时，