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专题02函数及基本函数的性质
题型01函数的性质
1.(2024·广东中山·二模)已知函数,若存在最小值,则的最大值为(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】当时,,故当时,有最小值为;
时,单调递减,所以,
由题意存在最小值,则,解得,即的最大值为.
故选:A
2.(2024·广东·模拟预测)关于函数,下列说法正确的个数是(???).
①是奇函数;②是周期函数;③有零点;④在上单调递增.
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【详解】对于①,函数定义域为,且,
则为奇函数,故①正确;
对于②,若是周期函数,设其最小正周期为,则,
即,变形得,,对任意恒成立,
令,可得,,设,而,
,所以只有唯一的解,故由,
由此可知它不是周期函数,故②错误;
对于③,因为,在上有零点,故③正确;
对于④,由于,故在上单调递增,故④正确.
故选:C.
3.(2024·广东清远·二模)若函数为奇函数,则实数(????)
A.1 B. C.2 D.
【答案】B
【详解】由题意可得,,,
,
整理可得,对任意都成立,,.
故选:B
4.(2024·广东珠海·二模)已知,为奇函数,且,则(????)
A.4047 B.2 C. D.3
【答案】C
【详解】由函数为奇函数,可得关于点对称,且,
所以,即,
又因为,可得,
即,则,所以,
所以函数是周期为的周期函数,
因为,,可得,,
所以.
故选:C.
5.(2024·广东肇庆·二模)下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递增的是(????)
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】对于选项A,当时,,当时,,即,所以选项A不满足题意,
对于选项B,因在区间上不单调,所以选项B不满足题意,
对于选项C,因为图象不关于轴对称,所以选项C不满足题意,
对于选项D,令,易得其定义域为,关于原点对称,
又,所以为偶函数,
当时,,又在区间上单调递增,所以选项D满足题意,
故选:D.
6.(2024·广东惠州·二模)下列函数中,既是奇函数又在上单调递增的是(????)
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】对于A:定义域为,为非奇非偶函数,故A错误;
对于B:定义域为,为奇函数,但是函数在上单调递减,故B错误;
对于C:为奇函数,定义域为,但是函数在上不单调,故C错误;
对于D:令定义域为,且,
所以为奇函数,且当时,函数在上单调递增,故D正确.
故选:D
7.(2024·广东湛江·二模)(多选)已知函数的定义域为,不恒为零,且,则(????)
A.
B.为偶函数
C.在处取得极小值
D.若,则
【答案】ABD
【详解】对于选项A,令,得,解得或,
当时,令,则,则,这与不恒为零矛盾,所以,故选项A正确,
对于选项B,令,则,即,
即为偶函数,所以选项B正确,
对于选项C,取,满足题意,此时不是的极小值点,所以选项C错误,
对于选项D,令,得,
若,则,则,
则,所以选项D正确,
故选:ABD.
8.(2024·广东·二模)(多选)下列函数中,是偶函数且在上单调递增的是(????)
A. B.
C. D.
【答案】AC
【详解】对于A:,为偶函数,
当时,,,
的单调递减区间为,
的递增区间为,
而,
所以在上单调递增,故A正确;
对于B:,为偶函数,
当时,,,
的单调递增区间为,
的单调递减区间为,
而,
所以在上单调递减,故B错误;
对于C:,为偶函数,
当时,,
的单调递减区间为,
则的单调递增区间为,
而,
所以在上单调递增,故C正确;
对于D:,
所以为非奇非偶函数,故D错误.
故选:AC.
9.(2024·广东·模拟预测)(多选)关于函数的周期性,下列说法正确的有(????)
A.是周期函数,最小正周期为
B.是周期函数,最小正周期为
C.是周期函数,最小正周期为
D.是周期函数,最小正周期为
【答案】CD
【详解】对于A,假设是周期函数,则对任意实数,存在非零常数,使得,
即,显然对任意实数不恒成立,
因此不是周期函数,A错误;
对于B,任意实数,成立,
因此是周期函数,是其周期,B错误;
对于C,函数的最小正周期依次为,
显然,如,左边为,而右边为1,
而恒成立,
因此是周期函数,最小正周期为,C正确;
对于D,函数的最小正周期依次为,
显然,而恒成立,
因此是周期函数,最小正周期为,D正确.
故选:CD
10.(2024·广东江门·二模)已知函数,则下列结论中正确的是(????)
A.函数有且仅有一个零点 B.函数是奇函数
C.在上单调递减 D.函数的最小值为
【答案】CD
【详解】函数,
对于A,由,得或,A错误;
对于B,,而,,函数不是奇函数,B错误;
对于C,函数在上单调递减,在上单调递减,且,
因此在上单调递减,C正确;
对于D,当时,
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