2025届高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第3节简单的三角恒等变换第2课时简单的三角恒等变换.docVIP

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第四章三角函数、解三角形

第三节简洁的三角恒等变换

第2课时简洁的三角恒等变换

A级·基础过关|固根基|

1.(2025届广州市调研)已知α为锐角，cosα＝eq\f(\r(5),5)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝()

A.eq\f(1,3) B．3

C．－eq\f(1,3) D．－3

解析：选A因为α是锐角，cosα＝eq\f(\r(5),5)，所以sinα＝eq\f(2\r(5),5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝2，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(tanα－tan\f(π,4),1＋tanαtan\f(π,4))＝eq\f(2－1,1＋2×1)＝eq\f(1,3)，故选A.

2．已知sin2α＝eq\f(4,5)，则cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝()

A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,10)

C.eq\f(1,5) D.eq\f(4,5)

解析：选Bcos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,2))),2)＝eq\f(1－sin2α,2)＝eq\f(1,10).故选B.

3.eq\f(sin10°,1－\r(3)tan10°)＝()

A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)

C.eq\f(\r(3),2) D．1

解析：选Aeq\f(sin10°,1－\r(3)tan10°)＝eq\f(sin10°cos10°,cos10°－\r(3)sin10°)

＝eq\f(2sin10°cos10°,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°)))＝eq\f(sin20°,4sin（30°－10°）)＝eq\f(1,4).

4．(2025届陕西省百校联盟模拟)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(6),3)，则sin2α的值为()

A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)

C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(2,3)

解析：选C解法一：依题意得eq\f(\r(2),2)(cosα－sinα)＝eq\f(\r(6),3)，两边平方得eq\f(1,2)(cosα－sinα)2＝eq\f(2,3)，即1－sin2α＝eq\f(4,3)，sin2α＝－eq\f(1,3)，故选C.

解法二：sin2α＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2α))＝1－2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)))eq\s\up12(2)＝－eq\f(1,3)，故选C.

5．已知α，β均为锐角，且sinα＝eq\f(4\r(3),7)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，则β等于()

A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,4)

C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,12)

解析：选A∵α为锐角且sinα＝eq\f(4\r(3),7)，∴cosα＝eq\f(1,7).

∵α，β均为锐角，∴0α＋βπ.

又∵cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，∴sin(α＋β)＝eq\f(5\r(3),14).

∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－eq\f(11,14)×eq\f(1,7)＋eq\f(5\r(3),14)×eq\f(4\r(3),7)＝eq\f(1,2).

又∵β为锐角，∴β＝eq\f(π,3).

6．(一题多解)已知cos2θ＝eq\f(4,5)，则sin4θ＋cos4θ＝________．

解析：解法一：因为cos2θ＝eq\f(4,5)，

所以2cos2θ－1＝eq\f(4,5)，1－2sin2θ＝eq\f(4,5)，

所以cos2θ＝eq\f(9,10)，sin2θ＝eq\f(1,10)，

所以sin4θ