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第四章三角函数、解三角形
第三节简洁的三角恒等变换
第2课时简洁的三角恒等变换
A级·基础过关|固根基|
1.(2025届广州市调研)已知α为锐角,cosα=eq\f(\r(5),5),则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α-\f(π,4)))=()
A.eq\f(1,3) B.3
C.-eq\f(1,3) D.-3
解析:选A因为α是锐角,cosα=eq\f(\r(5),5),所以sinα=eq\f(2\r(5),5),所以tanα=eq\f(sinα,cosα)=2,所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α-\f(π,4)))=eq\f(tanα-tan\f(π,4),1+tanαtan\f(π,4))=eq\f(2-1,1+2×1)=eq\f(1,3),故选A.
2.已知sin2α=eq\f(4,5),则cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(π,4)))=()
A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,10)
C.eq\f(1,5) D.eq\f(4,5)
解析:选Bcos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(π,4)))=eq\f(1+cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α+\f(π,2))),2)=eq\f(1-sin2α,2)=eq\f(1,10).故选B.
3.eq\f(sin10°,1-\r(3)tan10°)=()
A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)
C.eq\f(\r(3),2) D.1
解析:选Aeq\f(sin10°,1-\r(3)tan10°)=eq\f(sin10°cos10°,cos10°-\r(3)sin10°)
=eq\f(2sin10°cos10°,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°-\f(\r(3),2)sin10°)))=eq\f(sin20°,4sin(30°-10°))=eq\f(1,4).
4.(2025届陕西省百校联盟模拟)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(π,4)))=eq\f(\r(6),3),则sin2α的值为()
A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)
C.-eq\f(1,3) D.-eq\f(2,3)
解析:选C解法一:依题意得eq\f(\r(2),2)(cosα-sinα)=eq\f(\r(6),3),两边平方得eq\f(1,2)(cosα-sinα)2=eq\f(2,3),即1-sin2α=eq\f(4,3),sin2α=-eq\f(1,3),故选C.
解法二:sin2α=-coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)+2α))=1-2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)+α))=1-2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)))eq\s\up12(2)=-eq\f(1,3),故选C.
5.已知α,β均为锐角,且sinα=eq\f(4\r(3),7),cos(α+β)=-eq\f(11,14),则β等于()
A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,4)
C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,12)
解析:选A∵α为锐角且sinα=eq\f(4\r(3),7),∴cosα=eq\f(1,7).
∵α,β均为锐角,∴0α+βπ.
又∵cos(α+β)=-eq\f(11,14),∴sin(α+β)=eq\f(5\r(3),14).
∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-eq\f(11,14)×eq\f(1,7)+eq\f(5\r(3),14)×eq\f(4\r(3),7)=eq\f(1,2).
又∵β为锐角,∴β=eq\f(π,3).
6.(一题多解)已知cos2θ=eq\f(4,5),则sin4θ+cos4θ=________.
解析:解法一:因为cos2θ=eq\f(4,5),
所以2cos2θ-1=eq\f(4,5),1-2sin2θ=eq\f(4,5),
所以cos2θ=eq\f(9,10),sin2θ=eq\f(1,10),
所以sin4θ
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