2024版.新高考版 数学　平面向量的数量积及其应用(99).pdf

高考

数学

专题六平面向量

6.2平面向量的数量积及其应用

基础篇

考点平面向量的数量积

1.两个向量的夹角

2.平面向量的数量积

3.投影向量

1)如图1,设a,b是两个非零向量, =a, =b,考虑如下的变换:过 的起

点A和终点B,分别作 所在直线的垂线,垂足分别为A,B,得到 ,称上

11

述变换为向量a向向量b投影, 叫做向量a在向量b上的投影向量.

图1

图2

2)如图2,在平面内任取一点O,作 =a, =b.过点M作直线ON的垂线,垂

足为M,则 就是向量a在向量b上的投影向量.

1

4.向量数量积的性质

设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则

1)e·a=a·e=|a|cos

θ.

2)a⊥b⇔a·b=0.

3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;

当a与b反向时,a·b=-|a||b|.

2

特别地,a·a=|a|.

4)cos

θ= .

5)|a·b|≤|a|·|b|.

5.已知非零向量a=(x,y),b=(x,y),则

1122

1)证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件:

a⊥b⇔a·b=0⇔xx+yy=0.

1212

2)求夹角问题,利用夹角公式:

cosa,b= = 

.

3)求向量的模:|a|= = 或|AB|=| |= (其中

A(x,y),B(x,y)).

1122

综合篇

考法一求平面向量模的方法

1.求向量模的方法

1)|a|= ;

2)|a±b|= ;

3)若a=(x,y),则|a|= ;

4)解向量所在三角形,转化为求三角形的边长;

5)通过解方程(组)求解.

2.求向量模的最值(范围)的方法

1)代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解.

2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的

图形求解.

3)利用||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|求模的取值范围.

例1

(2022广东湛江模考,4)已知单位向量a,b的夹角为 π,若向量m=2a,n

=4a-λb且m⊥n,则|n|= (

)

A.2

B.4

C.8

D.16

2

解析因为m⊥n,所以2a·(4a-λb)=0,即8a-2λa·b=0,故4-λ· =0,

解得λ=-4 ,故n=4a+4 b,

222

故|n|= =16a+32 a·b+32b=16,故|n|=4.故选B.

答案

B

例2

(2020课标理,14,5分)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=

.

222

解析由|a+b|