2024版.新高考版 数学　直线、平面平行的判定和性质(143).pdf

高考

数学

专题八立体几何

8.3直线、平面平行的判定和性质

基础篇

考点一直线与平面平行的判定和性质

判定定理性质定理

图形

条件b⊂α,a⊄α,a∥ba∥α,a⊂β,α∩β=b

结论a∥αa∥b

考点二平面与平面平行的判定和性质

判定定理性质定理

图形

条件a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥αα∥β,α∩γ=a,β∩γ=b

结论α∥βa∥b

综合篇

考法一判定或证明直线与平面平行的方法

1.利用线面平行的判定定理(a∥b,a⊄α,b⊂α⇒a∥α);

2.利用面面平行的性质定理(α∥β,a⊂α⇒a∥β);

3.利用面面平行的性质(α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β).

例1

(2022山东青岛二模,20)如,P为圆锥的顶点,O为圆锥底面的圆心,

圆锥的底面直径AB=4,母线PH=2 ,M是PB的中点,四边形OBCH为正方

形.

(1)设平面POH∩平面PBC=l,证明:l∥BC;

(2)设D为OH的中点,N是线段CD上的一个点,当MN与平面PAB所成角最

大时,求MN的长.

解析

(1)证明:∵四边形OBCH是正方形,∴BC∥OH,∵BC⊄平面POH,

OH⊂平面POH,

∴BC∥平面POH,∵BC⊂平面PBC,平面POH∩平面PBC=l,∴l∥BC.

(2)∵圆锥的母线长为2 ,AB=4,∴OB=2,OP=2.以O为坐标原点,OH所在

直线为x轴,OB所在直线为y轴,OP所在直线为z轴,建立如图所示的空间直

角坐标系,

则P(0,0,2),B(0,2,0),D(1,0,0),C(2,2,0),M(0,1,1),

设 =λ =(λ,2λ,0)(0≤λ≤1),

 = + =(1+λ,2λ,0), = - =(1+λ,2λ-1,-1),易知 =(1,0,0)为

平面PAB的一个法向量.

设MN与平面PAB所成角为θ,1+λ=t,1≤t≤2,

则 =(t,2t-3,-1),

sin

θ= = = = ,∴当 =

 ,即λ= 时,sin

θ最大,此时θ最大, = ,

∴MN=| |= = .

考法二判定或证明平面与平面平行的方法

1.利用面面平行的判定定理(a∥α,b∥α,a∩b=P,a⊂β,b⊂β⇒α∥β);

2.利用面面平行的判定定理的推论(a∥c,b∥d,a∩b=A,c∩d=B,a⊂α,b⊂α,

c⊂β,d⊂β⇒α∥β);

3.利用平面平行的传递性(α∥γ,β∥γ⇒α∥β);

4.利用平行与垂直的关系(a⊥α,a⊥β⇒α∥β).

例2

如,在四棱锥P-ABCD中,