2024版.新高考版 数学　平面向量的数量积及其应用.pptx

高考

数学;;2.平面向量的数量积;3.投影向量

1)如图1,设a,b是两个非零向量,?=a,?=b,考虑如下的变换:过?的起

点A和终点B,分别作?所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到?,称上

述变换为向量a向向量b投影,?叫做向量a在向量b上的投影向量.;1)e·a=a·e=|a|cosθ.

2)a⊥b?a·b=0.

3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;

当a与b反向时,a·b=-|a||b|.

特别地,a·a=|a|2.

4)cosθ=?.

5)|a·b|≤|a|·|b|.

5.已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则

1)证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件:

a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.

2)求夹角问题,利用夹角公式:;cosa,b=?=?.

3)求向量的模:|a|=?=?或|AB|=|?|=?(其中

A(x1,y1),B(x2,y2)).;;例1????(2022广东湛江模考,4)已知单位向量a,b的夹角为?π,若向量m=2a,n

=4a-λb且m⊥n,则|n|=?(????)

A.2????B.4????C.8????D.16;例2????(2020课标Ⅰ理,14,5分)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=????.;例3????(2021山东滨州二模,14)已知平面向量a,b,d是单位向量,且a·b=0,则|d

-a-b|的最大值为????.;考法二求平面向量夹角的方法

1.定义法:当非零向量a,b是非坐标形式时,需求出a·b及|a|,|b|或得出它们之

间的关系.

2.坐标法:若已知非零向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2),则可直接利用公式cosa,b

=?求解,注意a,b∈[0,π].

3.转化成解三角形问题,利用正弦、余弦定理求解.;例4????(2022河北邯郸三模,13)若向量a,b满足|a|=|b|,|a+2b|=?|a|,则向量a,b

的夹角为????.;考法三平面向量数量积的综合应用

1.用向量法解决平面几何问题的基本步骤

1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平

面几何问题转化为向量问题;2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,

如距离、夹角等问题;3)把运算结果转化成几何关系.

2.三角形的四心与向量之间的关系

在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c.

1)在?=λ?的条件下,存在λ使得I为△ABC的内心;a?+b?+

c?=0?P为△ABC的内心.

2)|?|=|?|=|?|?P为△ABC的外心.;例5????在△ABC中,向量?与?满足?·?=0,且?·?=

?,则△ABC为?(????)

A.等边三角形????B.直角三角形

C.等腰非等边三角形????D.等腰直角三角形;例6????(2019江??,12,5分);又BE=2EA,∴EF=EA,又DF∥EO,∴AO=?AD,∴?=??=?(?+?).

∴?·?=?(?+?)·?=??.∵?·?=6;则E?,D?,C(b,0),?=?.易得lAD:y=?x,lEC:?+?=1,

联立得?解得?

则O?,?=?.由?·?=6?·?得6?·?=0,∴c2=3b2,∴

c=?b,∴?=?.