数学教案：空间中的垂直关系直线与平面垂直.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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示范教案

eq\o（\s\up7(），\s\do5(整体设计))

教学分析

本节教材给出了两直线垂直和直线与平面垂直的定义，并讨论了判定定理和性质．在教学过程中，要注意调动学生的学习积极性,留出足够思考时间，培养学生的思维能力．值得注意的是尽量使用信息技术，以便突破难点．对于判定定理的证明不作要求，仅供学习有余力的同学参考．

三维目标

1．掌握两直线垂直和直线与平面垂直的定义，培养学生的空间想象能力．

2．掌握直线与平面垂直的判定定理及其推论，提高学生的应用能力．

重点难点

教学重点:直线与平面垂直的判定定理及其推论．

教学难点：归纳判定定理,证明推论2。

课时安排

1课时

eq\o（\s\up7(）,\s\do5(教学过程）)

导入新课

设计1.(情境导入)

日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识,比如,旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的印象．

在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子．随着时间的变化，尽管影子BC的位置在移动，但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直．也就是说，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B′C′也是垂直的．

设计2。（实例导入）

如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直?举例说明．

如下图，直线AC1与直线BD、EF、GH等无数条直线垂直，但直线AC1与平面ABCD不垂直．

推进新课

eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（新知探究))

eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出问题））

(1）阅读教材，说说空间中两直线垂直的定义．

（2)想想看，如果A,B是空间中的两点，那么在空间中线段AB的垂直平分线有多少条？AB的这些垂直平分线构成的集合是怎样的图形（如下图)?固定线段AB，让l保持与AB垂直并绕直线AB在空间旋转，l的轨迹是怎样的图形?

（3)归纳空间直线与平面垂直的定义．

（4）直线l⊥平面α,直线mα，则l与m垂直吗?

讨论结果：

（1）如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点,并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．

（2)容易发现，空间中线段AB的所有垂直平分线构成的集合是一个平面．

(3）如果一条直线(AB）和一个平面(α）相交于点O，并且和这个平面内过交点（O）的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面,交点叫做垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段,叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．

(4)如下图，如果l⊥a,垂足为O，直线m是平面α内不过点O的任意一条直线，那么在α内过点O，可引直线m∥a,根据空间直线与平面垂直的定义，由l⊥a可得l⊥m.这就是说：

如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的任意一条直线垂直．

画直线和平面垂直时,通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如上下图所示．

直线l和平面α互相垂直,记作l⊥α。

eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出问题）)

?1?用直线与平面垂直的定义，直接检验直线是否与平面垂直是困难的。想想看,判定直线与平面垂直是否有容易操作又比较简单的方法？

?2?直线l∥直线m,l⊥平面α,则m与α垂直吗？

?3?直线l⊥平面α，直线m⊥α,则l与m有何位置关系？

讨论结果：

（1)我们已经知道，一个平面被它所含的两条相交直线完全确定．实际上只要检验这条直线与平面内的两条相交直线是否垂直就可以了,如果都垂直,则这条直线就与平面垂直．当这两条相交直线不都经过这条直线与平面的交点时,可以把它们平行移动到交点处后进行研究．

由以上分析，我们归纳出直线与平面垂直的判定定理:

定理如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．

(2)如下图，如果直线l平行于直线m,且直线l垂直于平面α,则直线l垂直于平面α内任意两条相交直线，如a，b.根据空间两条直线垂直的定义，易知，m与直线a和b也垂直，所以m与平面α垂直．

推论1如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．

（3)推论2如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．

已知：直线l⊥平面α,直线m⊥平面α,垂足分别为A，B(如下图)

求证：l∥m.

证明：假设直线m不与直线l平行．过直线m与平面α的交点B，作直线m′∥l，

由直线与平面垂直的判定定理的推论可知m′⊥α.

设m和m′确定的平面为β，α与β的交线为a.

因为直