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2021年北京一模——新定义问题
1.在平面直角坐标系中,已知正方形,其中,M,N为该正方形外两点,.给出如下定义:记线段MN的中点为P,平移线段MN得到线段,使点分别落在正方形的相邻两边上,或线段与正方形的边重合(分别为点M,N,P的对应点),线段长度的最小值称为线段MN到正方形的“平移距离”.
(1)如下图,平移线段MN,得到正方形内两条长度为1的线段,则这两条线段的位置关系是_______;若分别为的中点,在点中,连接点P与点_______的线段的长度等于线段MN到正方形的“平移距离”;
(2)如图,已知点,若M,N都在直线BE上,记线段MN到正方形的“平移距离”为,求的最小值;
(3)若线段MN的中点P的坐标为,记线段MN到正方形的“平移距离”为,直接写出的取值范围.
2.对于平面直角坐标系中的线段,给出如下定义:若存在使得,则称为线段的“等幂三角形”,点R称为线段的“等幂点”.
(1)已知.
①在点中,是线段的“等幂点”的是_____________;
②若存在等腰是线段的“等幂三角形”,求点B的坐标;
(2)已知点C的坐标为,点D在直线上,记图形M为以点为圆心,2为半径的位于x轴上方的部分,若图形M上存在点E,使得线段的“等幂三角形”为锐角三角形,直接写出点D的横坐标的取值范围.
3.对于平面直角坐标系中的图形M和点P,给出如下定义:将图形M绕点P顺时针旋转得到图形N,图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”.例如,图1中点D为点C关于点P的“垂直图形”.
(1)点A关于原点O的“垂直图形”为点B.
①若点A的坐标为,则点B的坐标为_______;
②若点B的坐标为,则点A的坐标为_______.
(2).线段关于点G的“垂直图形”记为,点E的对应点为,点F的对应点为.
①求点的坐标(用含a的式子表示);
②若的半径为,上任意一点都在内部或圆上,直接写出满足条件的的长度的最大值.
4.如图,直线l和直线l外一点P,过点P作于点H任取直线l上点Q,点H关于直线的对称点为点,标点为点P关于直线l的垂对点.在平面直角坐标系中,
(1)已知点,则点中是点P关于x轴的垂对点的是_______;
(2)已知点,且,直线上存在点M关于x轴的垂对点,求m的取值范围;
(3)已知点,若直线上存在两个点N关于x轴的垂对点,直接写出n的取值范围,
5.在平面直角坐标系中,对于点P和线段,我们定义点P关于线段的线段比
(1)已知点.
①点关于线段的线段比__________;
②点关于线段的线段比,求c的值.
(2)已知点,点,直线与坐标轴分别交于两点,若线段上存在点使得这一点关于线段的线段比,直接写出m的取值范围.
6.在平面直角坐标系中,对于点A和线段,如果点A,O,M,N按逆时针方向排列构成菱形,且,则称线段是点A的“相关线段”.例如,图1中线段是点A的“相关线段”.
(1)已知点A的坐标是.
①在图2中画出点A的“相关线段”,并直接写出点M和点N的坐标;
②若点A的“相关线段”经过点,求的值;
(2)若存在使得点P的“相关线段”和“相关线段”都经过点,记,直接写出t的取值范围.
7.在平面直角坐标系中,的半径为1,点A是平面内一点,过点A的直线交于点B和点C(),,我们把点B称为点A关于的“斜射点”.
(1)如图,在点中,存在关于的“斜射点”的是_____________.
(2)已知若,点关于的“斜射点”为点B,则点B的坐标可以是__________.(写出两个即可)
(3)若点A直线上,点A关于的“斜射点”为,画出示意图,直接写出k的取值范围.
8.对于平面内的点P和图形M,给出如下定义:以点P为圆心,r为半径作圆,若与图形M有交点,且半径r存在最大值与最小值,则将半径r的最大值与最小值的差称为点P视角下图形M的“宽度”.
(1)如图1.点,.
①在点O视角下,则线段的“宽度”为_________;
②若半径为1.5,在点A视角下,的“宽度”为_________;
(2)如图2,半径为2,点P为直线上一点.求点P视角下“宽度”的取值范围;
(3)已知点,直线与x轴,y轴分别交于点D,E.
若随着点C位置的变化,使得在所有点K的视角下,线段的“宽度”均满足,直接写出m的取值范围.
9.在平面直角坐标系中,任意两点,,定义线段的“直角长度”为.
(1)已知点.
①________;
②已知点,若,求m的值;
(2)在三角形中,若存在两条边“直角长度”之和等于第三条边的“直角长度”,则称该三角形为“和距三角形”.已知点.
①点.如果为“和距三角形”,求d的取值范围;
②在平面直角坐标系中,点C为直线上一点,点K是坐标系中的一点,且满足,当点C在直线上运动时,点K均满足使为“和距三角形”,请你直接写出点C的横坐标的取值
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