高考数学导数知识题型全归纳专题11导数压轴题之隐零点问题(原卷版+解析).docxVIP

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导数章节知识全归纳

专题11导数压轴题中有关隐零点问题

隐零点问题知识方法讲解：

1.“隐零点”概念：隐零点主要指在研究导数试题中遇到的对于导函数f’(x)=0时，不能够直接运算出来或是不能够估算出来，导致自己知道方程有根存在，但是又不能够找到具体的根是多少，通常都是设x=x0，使得f’(x)=0成立

2.“隐零点”解决方向：针对隐零点问题通常解决步骤：

1.求导判定是否为隐零点问题，

2.设x=x0，使得f’(x)

3.得到单调性，并找到最值，将x0带入f(x),得到f(

4.再将x0的等式代换，再求解（注意：x0

隐零点问题中的典型例题：

典例1．已知函数，．

（1）求在的极值；

（2）证明：在有且只有两个零点．

典例2．已知函数在处的切线与直线：平行．

（1）求的值；

（2）若，试讨论在上的零点个数．

典例3.已知函数.

（1）判断函数f(x)在上的零点个数，并说明理由；

（2）当时，，求实数m的取值范围.

典例4.设函数.

（Ⅰ）讨论的导函数的零点的个数；

（Ⅱ）证明：当时.

典例5．已知函数.

（1）若，讨论的单调性；

（2）令，讨论的极值点个数.

变式1．已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，求函数在上的零点个数.

变式2．已知函数，为的导数．证明：

（1）在区间存在唯一极大值点；

（2）有且仅有2个零点．

变式3．已知函数且在上的最大值为，

（1）求函数f(x)的解析式；

(2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明

变式4.已知函数，，．

（1）讨论函数在上的单调性；

（2）若方程在区间上有且只有一个实数根，求m的取值范围．

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导数章节知识全归纳

专题11导数压轴题中有关隐零点问题

隐零点问题知识方法讲解：

1.“隐零点”概念：隐零点主要指在研究导数试题中遇到的对于导函数f’(x)=0时，不能够直接运算出来或是不能够估算出来，导致自己知道方程有根存在，但是又不能够找到具体的根是多少，通常都是设x=x0，使得f’(x)=0成立

2.“隐零点”解决方向：针对隐零点问题通常解决步骤：

1.求导判定是否为隐零点问题，

2.设x=x0，使得f’(x)

3.得到单调性，并找到最值，将x0带入f(x),得到f(

4.再将x0的等式代换，再求解（注意：x0

隐零点问题中的典型例题：

典例1．已知函数，．

（1）求在的极值；

（2）证明：在有且只有两个零点．

解：（1）由，，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

所以，函数的极小值为，无极大值；

（2）证明：，其中.

则，令，则.

当时，，则在上单调递减，

，，

所以，存在，使得.

当时，，此时函数在上单调递增，

当时，，此时函数在上单调递减.

,

而，，则，又，

令，其中，则，

所以，函数在上单调递增，则，所以，.

由零点存在定理可知，函数在上有两个零点；

当时，，，

设，则对任意的恒成立，

所以，，

所以，函数在上没有零点，

综上所述，函数在上有且只有两个零点.

【点睛】

方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.

典例2．已知函数在处的切线与直线：平行．

（1）求的值；

（2）若，试讨论在上的零点个数．

解：（1）在处的切线与直线：平行，

则有，，则

（2），，

，令，则，

当时，且，则，则在单调递减，

，，

当时，且在单调递减，则，在单调递减，

，，

由于，则，在单调递减，则有一个零点，

当时，，由于在单调递减，则，在单调递增，

，则，则在无零点，

当时，，，在单调递减，则存在使，

当，，单调递增，当，，单调递减，

，，

若，则由，及的增减性可得：在无零点，此时，

若，由，和的增减性可得：在有一个零点，此时，

综上，当时，在无零点，当时，在有一个零点．

【点睛】

关键点点睛：本题第二问考查利用导数分析函数的零点个数问题，解答此问题的关键在于多次求导以及分类讨论思想的运用；当原函数的导函数无法直接判断出正负时，可先通过将原函数的导函数看作新函数，利用导数思想先分析的单调性以及取值正负，由此确定出的单调性并分析其取值正负，从而的正负可分析，则根据的单调性以及取值可讨论零点个数.

典例3.已知函数.

（1）判断函数f(x)在上的零点个数，并说明理由；

（2）当时，，求实数m的取值范围.

解：（1）