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导数章节知识全归纳
专题11导数压轴题中有关隐零点问题
隐零点问题知识方法讲解:
1.“隐零点”概念:隐零点主要指在研究导数试题中遇到的对于导函数f’(x)=0时,不能够直接运算出来或是不能够估算出来,导致自己知道方程有根存在,但是又不能够找到具体的根是多少,通常都是设x=x0,使得f’(x)=0成立
2.“隐零点”解决方向:针对隐零点问题通常解决步骤:
1.求导判定是否为隐零点问题,
2.设x=x0,使得f’(x)
3.得到单调性,并找到最值,将x0带入f(x),得到f(
4.再将x0的等式代换,再求解(注意:x0
隐零点问题中的典型例题:
典例1.已知函数,.
(1)求在的极值;
(2)证明:在有且只有两个零点.
典例2.已知函数在处的切线与直线:平行.
(1)求的值;
(2)若,试讨论在上的零点个数.
典例3.已知函数.
(1)判断函数f(x)在上的零点个数,并说明理由;
(2)当时,,求实数m的取值范围.
典例4.设函数.
(Ⅰ)讨论的导函数的零点的个数;
(Ⅱ)证明:当时.
典例5.已知函数.
(1)若,讨论的单调性;
(2)令,讨论的极值点个数.
变式1.已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,求函数在上的零点个数.
变式2.已知函数,为的导数.证明:
(1)在区间存在唯一极大值点;
(2)有且仅有2个零点.
变式3.已知函数且在上的最大值为,
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)在(0,π)内的零点个数,并加以证明
变式4.已知函数,,.
(1)讨论函数在上的单调性;
(2)若方程在区间上有且只有一个实数根,求m的取值范围.
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导数章节知识全归纳
专题11导数压轴题中有关隐零点问题
隐零点问题知识方法讲解:
1.“隐零点”概念:隐零点主要指在研究导数试题中遇到的对于导函数f’(x)=0时,不能够直接运算出来或是不能够估算出来,导致自己知道方程有根存在,但是又不能够找到具体的根是多少,通常都是设x=x0,使得f’(x)=0成立
2.“隐零点”解决方向:针对隐零点问题通常解决步骤:
1.求导判定是否为隐零点问题,
2.设x=x0,使得f’(x)
3.得到单调性,并找到最值,将x0带入f(x),得到f(
4.再将x0的等式代换,再求解(注意:x0
隐零点问题中的典型例题:
典例1.已知函数,.
(1)求在的极值;
(2)证明:在有且只有两个零点.
解:(1)由,,
当时,,此时函数单调递减,
当时,,此时函数单调递增,
所以,函数的极小值为,无极大值;
(2)证明:,其中.
则,令,则.
当时,,则在上单调递减,
,,
所以,存在,使得.
当时,,此时函数在上单调递增,
当时,,此时函数在上单调递减.
,
而,,则,又,
令,其中,则,
所以,函数在上单调递增,则,所以,.
由零点存在定理可知,函数在上有两个零点;
当时,,,
设,则对任意的恒成立,
所以,,
所以,函数在上没有零点,
综上所述,函数在上有且只有两个零点.
【点睛】
方法点睛:利用导数解决函数零点问题的方法:
(1)直接法:先对函数求导,根据导数的方法求出函数的单调区间与极值,根据函数的基本性质作出图象,然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题,突出导数的工具作用,体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用;
(2)构造新函数法:将问题转化为研究两函数图象的交点问题;
(3)参变量分离法:由分离变量得出,将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
典例2.已知函数在处的切线与直线:平行.
(1)求的值;
(2)若,试讨论在上的零点个数.
解:(1)在处的切线与直线:平行,
则有,,则
(2),,
,令,则,
当时,且,则,则在单调递减,
,,
当时,且在单调递减,则,在单调递减,
,,
由于,则,在单调递减,则有一个零点,
当时,,由于在单调递减,则,在单调递增,
,则,则在无零点,
当时,,,在单调递减,则存在使,
当,,单调递增,当,,单调递减,
,,
若,则由,及的增减性可得:在无零点,此时,
若,由,和的增减性可得:在有一个零点,此时,
综上,当时,在无零点,当时,在有一个零点.
【点睛】
关键点点睛:本题第二问考查利用导数分析函数的零点个数问题,解答此问题的关键在于多次求导以及分类讨论思想的运用;当原函数的导函数无法直接判断出正负时,可先通过将原函数的导函数看作新函数,利用导数思想先分析的单调性以及取值正负,由此确定出的单调性并分析其取值正负,从而的正负可分析,则根据的单调性以及取值可讨论零点个数.
典例3.已知函数.
(1)判断函数f(x)在上的零点个数,并说明理由;
(2)当时,,求实数m的取值范围.
解:(1)
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