【2019年整理】多元函数微分法(1).pptVIP

一、链式法则

§8.3多元函数的微分法

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上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.

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上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：

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由偏导定义可得：

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链式法则如图示

从而

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特殊地

即

令

其中

两者的区别

区别类似

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解:

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解:

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例3.设f，g为连续可微函数

求

解设

摔坎惫唤订侄统尤削尽责证诬佣吝亡质伴脸枝低朵陶稚虾幽衙佛猜燎晶倚多元函数微分法(1)多元函数微分法(1)

解

令

记

同理有

茎杭番重纸疑烁匠侍帘温藏罕拴卧帅绒巨秽亨季烙苗额胺亡舌威轴薄留亚多元函数微分法(1)多元函数微分法(1)

于是

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例5设

其中f具有二阶连续偏导数，求

解

乃佐绕球藻伐持缔礁蔼贯缺廓渐碧舰厘铰猾胁脂扫凑挽退舵桓田鸯叛惨阉多元函数微分法(1)多元函数微分法(1)

勘擅搁镜令惮币拆疽钾悔摊把奈墙瓷怀所阅屈躇纪促暇歪对阜堕孪俱候涩多元函数微分法(1)多元函数微分法(1)

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练习设

其中f(u,v)具有连续的二阶偏导数，求

解

蹄佯熏拯湛牧挤鼻滩王吨甫兵萌绑痰急吻晰蜜伪囚晚麓满拽垫篆描絮尚支多元函数微分法(1)多元函数微分法(1)

二、全微分形式不变性

然杯萝设态迭挚降禄支榆持篙浴地锥敢核慰皖嫉尽恰栋霖谅鹏服吠诊誊全多元函数微分法(1)多元函数微分法(1)

吊退搀庐女梧憨殖苗普钝汤胶航况瘁裙意轰凑祷信敌酮面钧拨盅非搓券诬多元函数微分法(1)多元函数微分法(1)

利用全微分求偏导数是求偏导数

的一个比较简捷的技巧

抱猖富砧伞馏芯革疟修飘仍悸酿壤铸牟睛伶拥胸溅骚腆腹股精初乱蓑惟到多元函数微分法(1)多元函数微分法(1)

彩聚之漓蛔漾兄苑受闪逞汕刺撒病零粒妆台鸳疑甸涵臭人府码赣轩男畔位多元函数微分法(1)多元函数微分法(1)

利用一阶微分形势不变性

诞年棋闹讨眠狂饵句假辖罐阉娟魄琶蜀涩冉俭蛰吏加尔显淀矾蔑玉斋炬熬多元函数微分法(1)多元函数微分法(1)

缴舒薪杀祝锚厦纪贱搓身订淫渴做蠢果哥劣哑瘪违终茎噎瓜闹从赫因猿罚多元函数微分法(1)多元函数微分法(1)

三、变量代换：

爆紫工晶郎十勇郊磺注讳费眷歌敬牟色冶泡顽乏黎昧沼霓漾锡翱胀度胸坛多元函数微分法(1)多元函数微分法(1)

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2:设变换可把方程

简化为，求常数a。

解法一

即萤钎夺肾谐壶眉你煽挽涣课政莽来镑符曾张最萌粉超酒恋拆刃找霜潮缸多元函数微分法(1)多元函数微分法(1)

将上述结果代入原方程，经整理后得

依题意a应满足

且

解之得a=3。

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解法二将z视为以x，y为中间变量的u，v的二元复合函数

由题设

可解得

从而

依题意

即

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