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专题29二项式定理及赋值法
一.学习目标
【学习目标】
1.能用计数原理证明二项式定理;娴熟驾驭二项绽开式的通项公式.
2.会用二项式定理解决与二项绽开式有关的简洁问题.
二.方法归纳
1.运用二项式定理肯定要牢记通项Tr+1=Ceq\o\al(r,n)an-rbr,留意(a+b)n与(b+a)n虽然相同,但详细到它们绽开式的某一项是不相同的,我们肯定要留意依次问题,另外二项绽开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同概念,前者只指Ceq\o\al(r,n),而后者是指字母外的部分.
2.求二项绽开式中指定的项,通常是先依据已知条件求r,再求Tr+1,有时还需先求n,再求r,才能求出Tr+1.
3.有些三项绽开式问题可以通过变形,变成二项式问题加以解决;有时也可以通过组合解决,但要留意分类清晰,不重不漏.
4.对于二项式系数问题,首先要熟记二项式系数的性质,其次要驾驭赋值法,赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.
5.近似计算首先要视察精确度,然后选取绽开式中的若干项.
6.用二项式定理证明整除问题,一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再绽开,常采纳“配凑法”,“消去法”协作整除的有关学问来解决.
三.命题类型及陷阱
1.求绽开式的项及系数
方法:干脆运用二项式定理的通项公式
2.求二项式系数及二项式系数
防陷阱方法:区分两者的区分
3.求绽开式的系数之和
解法:赋值求和
4.求系数的肯定值之和
解法:把式子中的负号变正后再赋值
5.赋值法
用途:求含参数的较难的二项式问题
6.用计数原理求项
用法:对于多项式乘法求某项
7.二项式定理与其它学问的综合
四.命题类型讲解及训练
1.求绽开式的项
例1已知等差数列{an}的通项公式为,则的绽开式中含项的系数是该数列的()
A.第9项B.第10项C.第19项D.第20项
【答案】D
【解析】因为绽开式中含项的系数是
,∴由得,故选D.
练习1.对于二项式,四位同学作了四种推断,其中正确的是()
(1)存在,绽开式中有常数项;
(2)对随意,绽开式中没有常数项;
(3)对随意,绽开式中没有的一次项;
(4)存在,绽开式中有的一次项。
A.(1)(3)B.(2)(3)C.(2)(4)D.(1)(4)
【答案】D
【解析】绽开式的通项为,当时,为常数项.当时,为一次项.故选.
2.已知绽开式中常数项为1120,其中实数是常数,则绽开式中各项系数的和是()
A.B.C.或D.或
【答案】C
【解析】通项为,,即,解得,当时,令,求得和为,当时,令,求得和为.
3.的绽开式的各项系数之和为()
A.B.C.D.
【答案】C
4.若的绽开式中第3项的二项式系数是15,则绽开式中全部项系数之和为()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】由题意知:,所以,故,令得全部项系数之和为.
2.求二项式系数及二项式系数之和
例2(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n绽开式中全部二项式系数和为()
A.2n+1B.2n+1+1C.2n+1-1D.2n+1-2
【答案】D
【解析】令可得题中绽开式全部二项式系数和为:
.
本题选择D选项.
练习1.,且
,则等于()??
A.4B.5C.6D.7
【答案】B
【解析】令,得.
∴,∴.
3.整除问题
例3.若为正奇数,则被9除所得的余数是()
A.0B.2C.7D.8
【答案】C
【解析】原式
,
为正奇数,,则余数为7,故选C.
【方法总结】本题主要考查了二项式应用问题,属于基础题,对于二项绽开式应用的问题是高考命题热点之一,关于二项式定理的命题方向比较明确,主要从以下几个方面命题:(1)考查二项绽开式的通项公式;(可以考查某一项,也可考查某一项的系数)(2)考查各项系数和和各项的二项式系数和;(3)二项式定理的应用.
练习1.除以,所得余数是()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】,绽开式的通项为,不能被整除即时,余数为,由于余数要为正数,故加,得.
【点睛】本题主要考查利用二项式定理解有关整除问题,关键在于将原式转化为的倍数来绽开.二项式的应用:(1)求某些多项式系数的和;(2)证明一些简洁的组合恒等式;(3)证明整除性,①求数的末位;②数的整除性及求系数;③简洁多项式的整除问题;(4)近似计算.
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