2025届高考数学基础总复习提升之专题突破详解专题29二项式定理及赋值法含解析.docVIP

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专题29二项式定理及赋值法

一．学习目标

【学习目标】

1．能用计数原理证明二项式定理；娴熟驾驭二项绽开式的通项公式．

2．会用二项式定理解决与二项绽开式有关的简洁问题．

二．方法归纳

1.运用二项式定理肯定要牢记通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr，留意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但详细到它们绽开式的某一项是不相同的，我们肯定要留意依次问题，另外二项绽开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同概念，前者只指Ceq\o\al(r,n)，而后者是指字母外的部分.

2.求二项绽开式中指定的项，通常是先依据已知条件求r，再求Tr＋1，有时还需先求n，再求r，才能求出Tr＋1.

3.有些三项绽开式问题可以通过变形，变成二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要留意分类清晰，不重不漏.

4.对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要驾驭赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.

5.近似计算首先要视察精确度，然后选取绽开式中的若干项.

6.用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再绽开，常采纳“配凑法”，“消去法”协作整除的有关学问来解决.

三．命题类型及陷阱

1.求绽开式的项及系数

方法：干脆运用二项式定理的通项公式

2．求二项式系数及二项式系数

防陷阱方法：区分两者的区分

3.求绽开式的系数之和

解法：赋值求和

4.求系数的肯定值之和

解法：把式子中的负号变正后再赋值

5.赋值法

用途：求含参数的较难的二项式问题

6.用计数原理求项

用法：对于多项式乘法求某项

7.二项式定理与其它学问的综合

四．命题类型讲解及训练

1.求绽开式的项

例1已知等差数列{an}的通项公式为，则的绽开式中含项的系数是该数列的()

A.第9项B.第10项C.第19项D.第20项

【答案】D

【解析】因为绽开式中含项的系数是

，∴由得，故选D.

练习1．对于二项式，四位同学作了四种推断，其中正确的是()

（1）存在，绽开式中有常数项；

（2）对随意,绽开式中没有常数项；

（3）对随意,绽开式中没有的一次项；

（4）存在,绽开式中有的一次项。

A.(1)(3)B.(2)(3)C.(2)(4)D.(1)(4)

【答案】D

【解析】绽开式的通项为，当时，为常数项.当时，为一次项.故选.

2．已知绽开式中常数项为1120，其中实数是常数，则绽开式中各项系数的和是（）

A.B.C.或D.或

【答案】C

【解析】通项为，，即，解得，当时，令，求得和为，当时，令，求得和为.

3．的绽开式的各项系数之和为()

A.B.C.D.

【答案】C

4．若的绽开式中第3项的二项式系数是15，则绽开式中全部项系数之和为（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】由题意知：，所以，故，令得全部项系数之和为.

2．求二项式系数及二项式系数之和

例2(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n绽开式中全部二项式系数和为()

A.2n+1B.2n+1+1C.2n+1-1D.2n+1-2

【答案】D

【解析】令可得题中绽开式全部二项式系数和为：

.

本题选择D选项.

练习1．，且

，则等于（）??

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】令，得.

∴，∴.

3.整除问题

例3.若为正奇数，则被9除所得的余数是()

A.0B.2C.7D.8

【答案】C

【解析】原式

，

为正奇数，，则余数为7，故选C.

【方法总结】本题主要考查了二项式应用问题，属于基础题，对于二项绽开式应用的问题是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项绽开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．

练习1.除以，所得余数是()

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】，绽开式的通项为，不能被整除即时，余数为，由于余数要为正数，故加，得.

【点睛】本题主要考查利用二项式定理解有关整除问题，关键在于将原式转化为的倍数来绽开.二项式的应用：（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简洁的组合恒等式；（3）证明整除性,①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简洁多项式的整除问题；（4）近似计算.