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高考
数学
专题十一概率与统计
11.4抽样方法与总体分布的估计
基础篇
考点一随机抽样
1.简单随机抽样
1)定义:一般地,设一个总体含有N(N为正整数)个个体,从中逐个抽取n(1≤
nN)个个体作为样本,如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个
体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样;
如果抽取是不放回的,且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽
到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样,放回
简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.
2)最常用的方法:随机数法和抽签法.
2.分层随机抽样
1)定义:一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体
属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再
把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为
分层随机抽样.
2)应用范围:总体由差异明显的几个部分组成.
3)分层随机抽样的关键是根据样本特征的差异进行分层,实质是等比例
抽样,抽样比= = .
考点二用样本估计总体
1.频率分布表与频率分布直方图的绘制步骤
1)求极差:一组数据中最大值-最小值;
2)决定组距与组数;
3)将数据分组;
4)列频率分布表:落在各小组内的数据的个数叫做频数,每小组的频数与
样本容量的比值叫做这一小组的频率,计算各小组的频率,列出频率分布
表;
5)画频率分布直方图:依据频率分布表画图,其中纵坐标(小长方形的高)
表示频率与组距的比值,其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的
面积,即每个小长方形的面积=组距×
=频率.各个小长方形面积的总和
等于1.
2.用样本的数字特征估计总体的数字特征
数字样本数据频率分布直方图
特征
众数出现次数最多的数据取最高小长方形底边中点的横
坐标
中位数将数据按大小排序,处在最中间把频率分布直方图划分为左右
位置的一个数据(或最中间两个两个面积相等的部分,分界线与
数据的平均数)x轴交点的横坐标
平均数样本数据的算术平均数每个小长方形的面积乘小长方
形底边中点的横坐标之和
2222
方差:s= [(x- )+(x- )+…+(x- )];
12n
标准差:
s= .
注意:方差和标准差描述了一组数据与平均数的离散程度,反映了一组数
据相对于平均数的波动情况,标准差和方差越大,说明这组数据的波动性
越大.
3.百分位数
1)把100个样本数据按从小到大排序,得到第p个和第p+1个数据分别
为a,b.可以发现,区间(a,b)内的任意一个数,都能把样本数据分成符合要求
的两部分.一般地,我们取这两个数的平均数 =c,并称此数为这组数据
的第p百分位数或p%分位数.
2)一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少
有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这
个值
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