《点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离》疑难破解.docxVIP

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《点到直线的距离公式两条平行直线间的距离》疑难破解

疑难1点到直线的距离公式及其应用

讲解1计算点到直线的距离的步骤

整理:将直线方程化为一般式,即

代入:将点的坐标及A、B、C的值代入公式

计算:得到d的值

讲解2应用点到直线的距离公式的注意事项

(1)当点在直线上时,点到该直线的距离为0,点到直线的距离公式仍然适用.

(2)点到直线的距离公式对于直线方程中A=0或B=0时的情况仍然适用.

(3)在应用点到直线的距离公式时,若给出的直线方程不是一般式,则应先把方程化为一般式.

【例题】已知正方形中心的坐标为直线2x?y+2=0,x+y+1=0的交点,正方形一边所在直线l的方程为x+3y?5=0,求正方形其他三边所在直线的方程.

【思路点拨】

根据所求的三边中有一边所在直线与直线x+3y?5=0平行,另两边所在直线与直线x+3y?5=0垂直,并结合正方形的中心到四条边所在直线的距离相等解题.

解析:由得正方形的中心的坐标为(?1,0).

设与直线l:x+3y?5=0平行的边所在直数的方程为l1:x+3y+c=0(c≠?5).

由点(?1,0)到两直线l、l1的距离相等,

得.

解得c=7或c=?5(舍去),

∴l1:x+3y+7=0.

又正方形另两边所在直线均与l垂直,

∴设另两边所在直线的方程分别为3x?y+a=0,3x?y+b=0(a≠b).

∵正方形的中心到四条边所在直线的距离相等,

∴,

解得a=9,b=?3或a=?3,b=9,

∴另两边所在直线的方程分别为3x?y+9=0,3x?y?3=0.

∴正方形其他三边所在直线的方程分别为x+3y+7=0,3x?y+9=0,3x?y?3=0.

疑难2两条平行直线间距离公式的应用

讲解1两条平行直线间距离的求法

(1)当直线的方程为一般式时,可利用两条平行直线间的距离公式,其步骤如下:

整理:将两条直线的方程化为、的系数对应相等的一般式,即,

代入:将、、、代入公式

计算:得到的值

解题时必须注意两直线方程中x,y的系数对应相等,若不相等,则先将系数化为相等,再代入公式.

(2)当直线的方程为斜截式时,l1:y=kx+b1,l2:y=kx+b2,且b1≠b2,则d=.

(3)利用“化旧”思想将两平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.

讲解2两条平行直线间距离的应用

已知两平行直线间的距离及其中一条直线的方程求另一条直线的方程,一般先设出直线方程,再利用两平行直线间的距离公式求解.也可以把两平行直线间的距离问题转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离问题,然后利用点到直线的距离公式求解.

【例题】

(1)直线l1:3x+4y?5=0关于l:3x+4y+1=0的对称直线l2的方程为______;

(2)已知ΔABC的两顶点A,B在直线l1:2x?y+3=0上,点C在直线l2:2x?y?1=0上.若ΔABC的面积为2,则AB边的长为______.

【思路点拨】

(1)l1关于和它平行的直线l对称的直线l2满足条件:①l1//l2,②l1、l2与直线l间的距离相等;

(2)因为两直线l1与l2平行,所以l2上的点C到l1的距离即为以AB为底时三角形的高.

解析:(1)设l2的方程为3x+4y+d=0(d≠?5),由条件知l1与l之间的距离等于l2与l之间的距离,则,解得d=7或d=?5(舍去).故直线l2的方程为3x+4y+7=0.

(2)已知直线l1:2x?y+3=0,直线l2:2x?y?1=0,可知l1//l2,两平行直线间的距离,根据三角形的面积公式得,解得|AB|=.

答案:(1)3x+4y+7=0(2)

疑难3与距离有关的最值问题

讲解常见距离公式的应用问题的解题策略

(1)利用对称转化为两点之间的距离问题.

(2)利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离问题.

用数形结合的思想方法解决与点到直线的距离有关的最值问题的方法:

一般地,形如的式子可视为点(x,y)与点(a,b)之间的距离,所以解决相关的最值问题时,可应用数形结合思想,借助两点问的距离公式,将其转化为点到直线的距离或两平行线之间的距离.

(3)利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题,通过配方求最值.

【例题】(1)已知m,n,a,b∈R,且满足3m+4n=6,3a+4b=1,则的最小值为()

A.

B.

C.1

D.

(2)已知实数x,y满足2x+y+3=0,