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2.4对数与对数函数

考点一对数的概念及运算

1.(2018天津,5,5分)已知a=log372,b=1413,c=log131

A.abcB.bacC.cbaD.cab

答案D本题主要考查指数式、对数式的大小比较.

b=1413140=1,a=log372log33=1,c=log131

方法总结比较对数式大小的方法:

①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需要对底数进行分类讨论;②若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较;③若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.

2.(2017北京,8,5分)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最接近的是(

(参考数据:lg3≈0.48)

A.1033B.1053C.1073D.1093

答案D设MN=3

∴3361=t·1080,∴361lg3=lgt+80,

∴361×0.48=lgt+80,∴lgt=173.28-80=93.28,∴t=1093.28.故选D.

3.(2016浙江,5,5分)已知a,b0且a≠1,b≠1.若logab1,则()

A.(a-1)(b-1)0B.(a-1)(a-b)0

C.(b-1)(b-a)0D.(b-1)(b-a)0

答案D解法一:logab1=logaa,当a1时,ba1;

当0a1时,0ba1.只有D正确.

解法二:取a=2,b=3,排除A、B、C,故选D.

4.(2016浙江,12,6分)已知ab1.若logab+logba=52,ab=ba,则a=,b=

答案4;2

解析令logab=t,∵ab1,∴0t1,由logab+logba=52得,t+1t=52,解得t=12或t=2(舍去),即logab=12,∴b=a,又ab=ba,∴aa=(a)a,即aa=aa

评析本题考查对数式、指数式的运算,注意logab=1logba,先求出loga

考点二对数函数的图象与性质

1.(2024课标Ⅲ理,12,5分)已知5584,13485.设a=log53,b=log85,c=log138,则()

A.abcB.bacC.bcaD.cab

答案Aa=log53∈(0,1),b=log85∈(0,1),则ab=log53log85=log53

又∵13485,∴13513×85,两边同取以13为底的对数得log13135log13(13×85),即log13845,∴c4

又∵5584,∴8×5585,两边同取以8为底的对数得log8(8×55)log885,即log8545,∴b4

综上所述,cba,故选A.

2.(2019天津理,6,5分)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为()

A.acbB.abc

C.bcaD.cab

答案A本题主要通过指数、对数大小比较来考查指数函数与对数函数的图象和性质,考查学生逻辑推理能力、运算求解能力以及综合运用数学知识灵活解决问题的能力.

因为a=log52log55=12,b=log0.50.2log0.50.5=1,c=0.50.2=121512,0.50.2

方法技巧比较指数、对数的大小,往往借助中间量0,1,注意结合幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质.

3.(2019天津,5,5分)已知a=log27,b=log38,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为()

A.cbaB.abcC.bcaD.cab

答案A本题考查指数函数与对数函数的图象和性质;通过对对数式的估算或适当“缩放”考查学生的逻辑推理能力.

显然c=0.30.2∈(0,1).

因为log33log38log39,所以1b2.

因为log27log24=2,所以a2.

故cba.选A.

4.(2018课标Ⅲ理,12,5分)设a=log0.20.3,b=log20.3,则()

A.a+bab0B.aba+b0

C.a+b0abD.ab0a+b

答案B本题考查不等式及对数运算.

解法一:∵a=log0.20.3log0.21=0,b=log20.3log21=0,∴ab0,排除C.

∵0log0.20.3log0.20.2=1,log20.3log20.5=-1,即0a1,b-1,∴a+b0,排除D.

∵ba=log20.3log0.20.3=lg0.2lg2=log2

解法二:易知0a1,b-1,∴ab0