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贵州省榕江县第三高级中学2023届高三年级学情检测试题数学试题
考生请注意:
1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知三棱锥的体积为2,是边长为2的等边三角形,且三棱锥的外接球的球心恰好是中点,则球的表面积为()
A. B. C. D.
2.已知双曲线满足以下条件:①双曲线E的右焦点与抛物线的焦点F重合;②双曲线E与过点的幂函数的图象交于点Q,且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点.则双曲线的离心率是()
A. B. C. D.
3.若的展开式中二项式系数和为256,则二项式展开式中有理项系数之和为()
A.85 B.84 C.57 D.56
4.是抛物线上一点,是圆关于直线的对称圆上的一点,则最小值是()
A. B. C. D.
5.对于定义在上的函数,若下列说法中有且仅有一个是错误的,则错误的一个是()
A.在上是减函数 B.在上是增函数
C.不是函数的最小值 D.对于,都有
6.若,则函数在区间内单调递增的概率是()
A.B.C.D.
7.设i是虚数单位,若复数()是纯虚数,则m的值为()
A. B. C.1 D.3
8.若的展开式中的系数为-45,则实数的值为()
A. B.2 C. D.
9.函数的部分图象如图所示,则()
A.6 B.5 C.4 D.3
10.下图所示函数图象经过何种变换可以得到的图象()
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
11.设函数,则使得成立的的取值范围是().
A. B.
C. D.
12.已知向量,则()
A.∥ B.⊥ C.∥() D.⊥()
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.数列的前项和为,数列的前项和为,满足,,且.若任意,成立,则实数的取值范围为__________.
14.设定义域为的函数满足,则不等式的解集为__________.
15.甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习,每个企业两人,则“甲、乙两人恰好在同一企业”的概率为_________.
16.若存在实数使得不等式在某区间上恒成立,则称与为该区间上的一对“分离函数”,下列各组函数中是对应区间上的“分离函数”的有___________.(填上所有正确答案的序号)
①,,;
②,,;
③,,;
④,,.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)如图,在直三棱柱中,,点分别为和的中点.
(Ⅰ)棱上是否存在点使得平面平面?若存在,写出的长并证明你的结论;若不存在,请说明理由.
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
18.(12分)在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程和曲线的参数方程;
(2)设曲线与曲线在第二象限的交点为,曲线与轴的交点为,点,求的周长的最大值.
19.(12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.
(1)求曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程;
(2)若射线与曲线C交于点A(不同于极点O),与直线l交于点B,求的最大值.
20.(12分)在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的长度单位.已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ,直线l的参数方程为(t为参数,α为直线的倾斜角).
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C有唯一的公共点,求角α的大小.
21.(12分)2019年是五四运动100周年.五四运动以来的100年,是中国青年一代又一代接续奋斗、凯歌前行的100年,是中口青年用青春之我创造青春之中国、青春之民族的100年.为继承和发扬五四精神在青年节到来之际,学校组织“五四运动100周年”知识竞赛,竞赛的一个环节由10道题目组成,其中6道A类题、4道B类题,参赛者需从10道题目中随机抽取3道作答,现有甲同学参加该环节的比赛.
(1)求甲同学至少抽到2道B类题的概率;
(2)若甲同学答对每道A类题的概率都是,答对每道B类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.现已知甲同学
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