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哈尔滨师范大学附属中学2022-2023学年高三下学期数学试题2月16日周练试题
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数,若函数在上有3个零点,则实数的取值范围为()
A. B. C. D.
2.设全集U=R,集合,则()
A.{x|-1x4} B.{x|-4x1} C.{x|-1≤x≤4} D.{x|-4≤x≤1}
3.函数在的图象大致为()
A. B.
C. D.
4.我国宋代数学家秦九韶(1202-1261)在《数书九章》(1247)一书中提出“三斜求积术”,即:以少广求之,以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积.其实质是根据三角形的三边长,,求三角形面积,即.若的面积,,,则等于()
A. B. C.或 D.或
5.已知函数是定义在R上的奇函数,且满足,当时,(其中e是自然对数的底数),若,则实数a的值为()
A. B.3 C. D.
6.已知直线是曲线的切线,则()
A.或1 B.或2 C.或 D.或1
7.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为()
A. B.
C. D.
8.已知函数,集合,,则()
A. B.
C. D.
9.点是单位圆上不同的三点,线段与线段交于圆内一点M,若,则的最小值为()
A. B. C. D.
10.下列命题是真命题的是()
A.若平面,,,满足,,则;
B.命题:,,则:,;
C.“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件;
D.命题“若,则”的逆否命题为:“若,则”.
11.已知函数,则()
A. B. C. D.
12.已知函数的值域为,函数,则的图象的对称中心为()
A. B.
C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.正四面体的各个点在平面同侧,各点到平面的距离分别为1,2,3,4,则正四面体的棱长为__________.
14.已知椭圆,,若椭圆上存在点使得为等边三角形(为原点),则椭圆的离心率为_________.
15.的展开式中,项的系数是__________.
16.“”是“”的__________条件.(填写“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一)
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知数列的前n项和,是等差数列,且.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)令.求数列的前n项和.
18.(12分)已知函数.
(1)若,求的取值范围;
(2)若,对,不等式恒成立,求的取值范围.
19.(12分)已知函数,其中.
(1)当时,求在的切线方程;
(2)求证:的极大值恒大于0.
20.(12分)某公司欲投资一新型产品的批量生产,预计该产品的每日生产总成本价格)(单位:万元)是每日产量(单位:吨)的函数:.
(1)求当日产量为吨时的边际成本(即生产过程中一段时间的总成本对该段时间产量的导数);
(2)记每日生产平均成本求证:;
(3)若财团每日注入资金可按数列(单位:亿元)递减,连续注入天,求证:这天的总投入资金大于亿元.
21.(12分)已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若对任意恒成立,求的取值范围.
22.(10分)已知函数(其中是自然对数的底数)
(1)若在R上单调递增,求正数a的取值范围;
(2)若f(x)在处导数相等,证明:;
(3)当时,证明:对于任意,若,则直线与曲线有唯一公共点(注:当时,直线与曲线的交点在y轴两侧).
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.B
【解析】
根据分段函数,分当,,将问题转化为的零点问题,用数形结合的方法研究.
【详解】
当时,,令,在是增函数,时,有一个零点,
当时,,令
当时,,在上单调递增,
当时,,在上单调递减,
所以当时,取得最大值,
因为在上有3个零点,
所以当时,有2个零点,
如图所示:
所以实数的取值范围为
综上可得实数的取值范围为,
故选:B
【点睛】
本题主要考查了函数的零点问题,还考查了数形结合
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