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Crank-Nicolson差分格式
1.简介
Crank-Nicolson差分格式是一种常用的数值方法，用于求解偏微分方程中的时间
部分。它是一个隐式格式，具有较好的稳定性和精度。本文将详细介绍Crank-
Nicolson差分格式的原理、应用和优缺点。
2.原理
Crank-Nicolson差分格式基于时间离散化，将时间域划分为多个小步长。假设我
们要求解一个二阶偏微分方程：
2
∂ᵆ∂ᵆ
=ᵃ
2
∂ᵆ∂ᵆ
其中，ᵆ是待求解的函数，ᵃ是常数。
将时间离散化为ᵅ+1个点，即ᵆ,ᵆ,ᵆ,...,ᵆ，其中ᵆᵆ...ᵆ。对于每个时
012ᵅ01ᵅ
间点ᵆ，我们可以使用中心差分近似来表示导数：
ᵅ
ᵅ+1ᵅᵅ+1ᵅ+1ᵅ+1ᵅᵅᵅ
ᵆ−ᵆᵆ−2ᵆ+ᵆᵆ−2ᵆ+ᵆ
ᵅᵅ=ᵃᵅ+1ᵅᵅ−1+ᵃᵅ+1ᵅᵅ−1
()2()2
ᵮᵆᵮᵆᵮᵆ
ᵅ
其中，ᵆ表示在空间点ᵆ和时间点ᵆ的解。
ᵅᵅ
ᵅ
将上式进行整理，得到Crank-Nicolson离散格式：
ᵃᵮᵆᵃᵮᵆᵃᵮᵆ
ᵅ+1ᵅ+1ᵅ+1
−ᵆ+(1+)ᵆ−ᵆ
()2ᵅ+1()2ᵅ()2ᵅ−1
2ᵮᵆᵮᵆ2ᵮᵆ
ᵃᵮᵆᵃᵮᵆᵃᵮᵆ
ᵅᵅᵅ
=ᵆ+(1−)ᵆ+ᵆ
()2ᵅ+1()2ᵅ()2ᵅ−1
2ᵮᵆᵮᵆ2ᵮᵆ
这是一个线性方程组，可以通过迭代求解得到解。
3.应用
Crank-Nicolson差分格式广泛应用于各种偏微分方程的数值求解中，特别是热传
导方程和扩散方程。它具有以下优点：-稳定性好：Crank-Nicolson差分格式是
一个隐式方法，对于稳定性要求较高的问题特别有效。-精度高：与显式方法相
比，Crank-Nicolson差分格式具有二阶精度，可以获得更准确的数值解。-收敛
速度快：由于其隐式特性，Crank-Nicolson差分格式的收敛速度通常比显式方法
快。
4.优缺点
Crank-Nicolson差分格式有以下优点：-稳定性好：由于是一个隐式方法，对于
稳定性要求较高的问题特别有效。-精度高：具有二阶精度，可以获得更准确的
数值解。-收敛速度快：由于其隐式
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