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河北省衡水市2023届高三下学期正月开学联考数学试题
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.函数(或)的图象大致是()
A. B. C. D.
2.已知抛物线y2=4x的焦点为F,抛物线上任意一点P,且PQ⊥y轴交y轴于点Q,则的最小值为()
A. B. C.l D.1
3.已知集合,将集合的所有元素从小到大一次排列构成一个新数列,则()
A.1194 B.1695 C.311 D.1095
4.记的最大值和最小值分别为和.若平面向量、、,满足,则()
A. B.
C. D.
5.已知函数,则下列结论错误的是()
A.函数的最小正周期为π
B.函数的图象关于点对称
C.函数在上单调递增
D.函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
6.若实数满足不等式组,则的最大值为()
A. B. C.3 D.2
7.下列与函数定义域和单调性都相同的函数是()
A. B. C. D.
8.如图在一个的二面角的棱有两个点,线段分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于棱,且,则的长为()
A.4 B. C.2 D.
9.若复数(为虚数单位),则的共轭复数的模为()
A. B.4 C.2 D.
10.过抛物线的焦点的直线交该抛物线于,两点,为坐标原点.若,则直线的斜率为()
A. B. C. D.
11.已知集合,,则等于()
A. B. C. D.
12.设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点,点与点关于轴对称,为坐标原点,若,且,则点的轨迹方程是()
A. B.
C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为__________.
14.将含有甲、乙、丙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动,其中一组指挥交通,一组分发宣传资料,则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一个组的概率为__________.
15.已知向量,,且,则________.
16.正方形的边长为2,圆内切于正方形,为圆的一条动直径,点为正方形边界上任一点,则的取值范围是______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)以直角坐标系的原点为极点,轴的非负半轴为极轴,且两坐标系取相同的长度单位.已知曲线的参数方程:(为参数),直线的极坐标方程:
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)若直线与曲线交于、两点,求的最大值.
18.(12分)已知函数,其中.
(1)讨论函数的零点个数;
(2)求证:.
19.(12分)在中,,.已知分别是的中点.将沿折起,使到的位置且二面角的大小是60°,连接,如图:
(1)证明:平面平面
(2)求平面与平面所成二面角的大小.
20.(12分)已知点P在抛物线上,且点P的横坐标为2,以P为圆心,为半径的圆(O为原点),与抛物线C的准线交于M,N两点,且.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若抛物线的准线与y轴的交点为H.过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A,B,且,求的值.
21.(12分)如图,在三棱柱中,是边长为2的等边三角形,,,.
(1)证明:平面平面;
(2),分别是,的中点,是线段上的动点,若二面角的平面角的大小为,试确定点的位置.
22.(10分)已知三棱锥中,为等腰直角三角形,,设点为中点,点为中点,点为上一点,且.
(1)证明:平面;
(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.A
【解析】
确定函数的奇偶性,排除两个选项,再求时的函数值,再排除一个,得正确选项.
【详解】
分析知,函数(或)为偶函数,所以图象关于轴对称,排除B,C,
当时,,排除D,
故选:A.
【点睛】
本题考查由函数解析式选择函数图象,解题时可通过研究函数的性质,如奇偶性、单调性、对称性等,研究特殊的函数的值、函数值的正负,以及函数值的变化趋势,排除错误选项,得正确结论.
2.A
【解析】
设点,则点,,利用向量数量积的坐标运算可得,利用二次函数的性质可得最值.
【详解】
解:设
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