Ansoft高级培训班教材有限元基础.docx

Ansoft高级培训班

Ansoft高级培训班教材

AnsoftHFSS的有限元理论基础

谢拥军编著

西安电子科技大学

Ansoft培训中心

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第一章概述

第二章有限元的基本理论及三维有限元分析

2．1电磁场边值问题及其变分原理

2．2有限元方法的原理――从一维简单例子

来看其建模过程

2．3三维时谐场有限元问题

2．4有限元方程组的求解

第三章电磁内问题和散射问题的有限元分析方法3．1电磁内问题

3．2电磁散射问题

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第一章概述

AnsoftHFSS软件是应用有限元方法的原理来编制

的，深入的了解有限元方法的理论基础，及其在电磁场与

微波技术领域的应用原理，对于我们灵活、准确地使用

AnsoftHFSS软件来解决实际工程问题能够提供帮助。

这一部分教材的内容就是在结合AnsoftHFSS软件中涉及到的有限元技术，力争在最小的篇幅和最短的时间里

为学员建立理论结合实际的有限元方法的基本概念。

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第二章有限元的基本理论及三维有限元分析

有限元方法是近似求解数理边值问题的一种数值技

术，大约有40年的历史。他首先在本世纪40年代被提

出，在50年用于飞机的设计。在六七十年代被引进到电

磁场问题的求解中。

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2．1电磁场边值问题及其变分原理

电磁场的边值问题和很多的物理系统中的数学模型

中的边值问题一样，都可以用区域Ω内的控制微分方程

（电磁场问题中可以是泊松方程、标量波动方程和矢量

波动方程等）和包围区域的边界Γ上的边界条件（可以

是第一类的Dirichlet条件和第二类的Neumann条件，或

者是阻抗和辐射边界条件等）来定义。微分方程可表示

为：

Lφ=

f

（2.1）

Lfφ式中，是微分算符，是激励函数，是未知量。

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对于电磁场边值问题，只有少数情况可以得到解析解。很多的

φ~时候我们采用基于变分原理的数值方法去求其近似解，比

如伽辽金方法。在伽辽金方法中，我们首先定义非零的残数：

~?≠r=Lφf

0

（2.2)

φ~

的最佳近似应能满足：

R

i

=∫

?wrd

?

i

=

0

（2.3)

φ~Ansoft高级培训班

这里R表示残数加权积分（也可称为误差泛函），是所选择的加

w

φ~

ii

权函数。进一步地，我们可以将近似解展开为：

~

N

φi={v}T{c}

=∑

cv

i

(2.4)

i=1

cv

式中，是定义在区域Ω内的展开函数，是待定的展开系数。并

jj

且我们将加权函数选为：

w=i=1,2,3,...,N

iv

i

（2.5）

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这时，式（2.3）变为：

(?)?=0

{}{}

R?vLvcvfd

i=∫Ti=1,2,3,...,N

ii

（2.6）

{c}这样问题的求解就转化为能够使上式最小化的展开系数的线

性问题的求解，将（2.6）式写为矩阵形式：

[S]{c}={b}

[S]

的元素为：

()

S=vLvd

=vLvd

∫??

ijij

（2.7）

（2.8）

{b}

的元素为：

b=vfd

=vfd

∫??

ii

（2.9）

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2．2有限元方法的原理――从一维的例子

来看其建模的过程

从上一小节的内容我们可以看到电磁场边值问题

变分解法的这样的两个特点：

（1）变分问题已经将原来电磁场边值问题的严格求解

变为求解在泛函意思下的弱解，这个解可以和原来的

解式不一样的。

（2）在电磁场边值问题的变分方法中，展开函数（也

可成为试探函数）是由定义在全域上的一组基函数组

成，这种组合必须能够表示真实解，也必须满足适当

的边界条件，这对于二维、三维问题是非常困难的。

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很自然的，人们认为如果采用组成全域的子域上的一组基

函数能够提高近似解对于真实解的逼近精度。这就是有限元方

法。下面我们通过一个简单的一维例子来看看有限元方法的建

模过程和其方法的特点。

考虑一个均匀充填介电常数为ε的平板电容器，如图2.1所示:

r

E

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如果我们假设电场只有x方向的分量，问题就可以简化为一

维问题。问题的支配方程为：

??

?V?

???ε?=ε?=?ρ

V?

x?x???

其边界条件为：

（2.10）

V(0)=0V(10)=100

（2.11）

利用（2.10）式与权函数构成内积，仿照（2.3）式的方法我们可以给出这里的误差泛函：

{???+}?=0

∫?WRd?