2025届高考数学一轮总复习课时作业25正弦定理余弦定理含解析苏教版.docVIP

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课时作业25正弦定理、余弦定理

一、选择题

1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=eq\r(13),b=3,A=60°,则边c等于(C)

A.1 B.2

C.4 D.6

解析:∵a2=c2+b2-2cbcosA,∴13=c2+9-2c×3×cos60°,即c2-3c-4=0,解得c=4或c=-1(舍去).

2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2,b=2eq\r(3),C=30°,则B等于(D)

A.30° B.60°

C.30°或60° D.60°或120°

解析:∵c=2,b=2eq\r(3),C=30°,∴由正弦定理可得sinB=eq\f(bsinC,c)=eq\f(2\r(3)×\f(1,2),2)=eq\f(\r(3),2),由bc,可得30°B180°,

∴B=60°或B=120°.

3.(2024·济南模拟)在△ABC中,AC=eq\r(5),BC=eq\r(10),cosA=eq\f(2\r(5),5),则△ABC的面积为(A)

A.eq\f(5,2) B.5

C.10 D.eq\f(\r(10),2)

解析:由AC=eq\r(5),BC=eq\r(10),BC2=AB2+AC2-2AC·ABcosA,得AB2-4AB-5=0,解得AB=5,而sinA=eq\r(1-cos2A)=eq\f(\r(5),5),故S△ABC=eq\f(1,2)×5×eq\r(5)×eq\f(\r(5),5)=eq\f(5,2).故选A.

4.(2024·湖南湘东六校联考)在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,其中b2=ac,且sinC=eq\r(2)sinB,则其最小内角的余弦值为(C)

A.-eq\f(\r(2),4) B.eq\f(\r(2),4)

C.eq\f(5\r(2),8) D.eq\f(3,4)

解析:由sinC=eq\r(2)sinB及正弦定理,得c=eq\r(2)b.又b2=ac,所以b=eq\r(2)a,所以c=2a,所以A为△ABC的最小内角.由余弦定理,知cosA=eq\f(b2+c2-a2,2bc)=eq\f(?\r(2)a?2+?2a?2-a2,2·\r(2)a·2a)=eq\f(5\r(2),8),故选C.

5.(2024·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=-eq\f(1,4),则eq\f(b,c)=(A)

A.6 B.5

C.4 D.3

解析:由题意及正弦定理得,b2-a2=-4c2,所以由余弦定理得,cosA=eq\f(b2+c2-a2,2bc)=eq\f(-3c2,2bc)=-eq\f(1,4),得eq\f(b,c)=6.故选A.

6.(2024·昆明测试)在平面四边形ABCD中,∠D=90°,∠BAD=120°,AD=1,AC=2,AB=3,则BC=(C)

A.eq\r(5) B.eq\r(6)

C.eq\r(7) D.2eq\r(2)

解析:如图,在△ACD中,∠D=90°,AD=1,AC=2,所以∠CAD=60°.又∠BAD=120°,所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°.在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=7,所以BC=eq\r(7).故选C.

7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知三个向量m=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a,cos\f(A,2))),n=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b,cos\f(B,2))),p=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c,cos\f(C,2)))共线,则△ABC的形态为(A)

A.等边三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

解析:∵向量m=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a,cos\f(A,2))),n=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b,cos\f(B,2)))共线,

∴acoseq\f(B,2)=bcoseq\f(A,2).

由正弦定理得sinAcoseq\f(B,2)=sinBcoseq\f(A,2).

∴2sineq\f(A,2)coseq\f(A,2)coseq\f(B,2)=2sineq\f(B,2)coseq\f(B,2)coseq\f(A,2).

则sineq\f(A,

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