2025届高考数学一轮总复习课时作业25正弦定理余弦定理含解析苏教版.docVIP

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课时作业25正弦定理、余弦定理

一、选择题

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝eq\r(13)，b＝3，A＝60°，则边c等于(C)

A．1 B．2

C．4 D．6

解析：∵a2＝c2＋b2－2cbcosA，∴13＝c2＋9－2c×3×cos60°，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去)．

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2，b＝2eq\r(3)，C＝30°，则B等于(D)

A．30° B．60°

C．30°或60° D．60°或120°

解析：∵c＝2，b＝2eq\r(3)，C＝30°，∴由正弦定理可得sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\f(2\r(3)×\f(1,2),2)＝eq\f(\r(3),2)，由bc，可得30°B180°，

∴B＝60°或B＝120°.

3．(2024·济南模拟)在△ABC中，AC＝eq\r(5)，BC＝eq\r(10)，cosA＝eq\f(2\r(5),5)，则△ABC的面积为(A)

A.eq\f(5,2) B．5

C．10 D.eq\f(\r(10),2)

解析：由AC＝eq\r(5)，BC＝eq\r(10)，BC2＝AB2＋AC2－2AC·ABcosA，得AB2－4AB－5＝0，解得AB＝5，而sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(\r(5),5)，故S△ABC＝eq\f(1,2)×5×eq\r(5)×eq\f(\r(5),5)＝eq\f(5,2).故选A.

4．(2024·湖南湘东六校联考)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b2＝ac，且sinC＝eq\r(2)sinB，则其最小内角的余弦值为(C)

A．－eq\f(\r(2),4) B.eq\f(\r(2),4)

C.eq\f(5\r(2),8) D.eq\f(3,4)

解析：由sinC＝eq\r(2)sinB及正弦定理，得c＝eq\r(2)b.又b2＝ac，所以b＝eq\r(2)a，所以c＝2a，所以A为△ABC的最小内角．由余弦定理，知cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(?\r(2)a?2＋?2a?2－a2,2·\r(2)a·2a)＝eq\f(5\r(2),8)，故选C.

5．(2024·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－eq\f(1,4)，则eq\f(b,c)＝(A)

A．6 B．5

C．4 D．3

解析：由题意及正弦定理得，b2－a2＝－4c2，所以由余弦定理得，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(－3c2,2bc)＝－eq\f(1,4)，得eq\f(b,c)＝6.故选A.

6．(2024·昆明测试)在平面四边形ABCD中，∠D＝90°，∠BAD＝120°，AD＝1，AC＝2，AB＝3，则BC＝(C)

A.eq\r(5) B.eq\r(6)

C.eq\r(7) D．2eq\r(2)

解析：如图，在△ACD中，∠D＝90°，AD＝1，AC＝2，所以∠CAD＝60°.又∠BAD＝120°，所以∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝60°.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝7，所以BC＝eq\r(7).故选C.

7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知三个向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，cos\f(A,2)))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b，cos\f(B,2)))，p＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，cos\f(C,2)))共线，则△ABC的形态为(A)

A．等边三角形B．等腰三角形

C．直角三角形D．等腰直角三角形

解析：∵向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，cos\f(A,2)))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b，cos\f(B,2)))共线，

∴acoseq\f(B,2)＝bcoseq\f(A,2).

由正弦定理得sinAcoseq\f(B,2)＝sinBcoseq\f(A,2).

∴2sineq\f(A,2)coseq\f(A,2)coseq\f(B,2)＝2sineq\f(B,2)coseq\f(B,2)coseq\f(A,2).

则sineq\f(A,