2025届高考数学一轮总复习课时作业22简单的三角恒等变换含解析苏教版.docVIP

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课时作业22简洁的三角恒等变换

一、选择题

1．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))，则tanα＝(B)

A．1 B．－1

C.eq\f(1,2) D．0

解析：∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))，

∴eq\f(1,2)cosα－eq\f(\r(3),2)sinα＝eq\f(\r(3),2)cosα－eq\f(1,2)sinα，

即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－\f(1,2)))sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(\r(3),2)))cosα，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－1.

2．化简：eq\f(cos40°,cos25°\r(1－sin40°))＝(C)

A．1 B.eq\r(3)

C.eq\r(2) D．2

解析：原式＝eq\f(cos220°－sin220°,cos25°?cos20°－sin20°?)＝eq\f(cos20°＋sin20°,cos25°)

＝eq\f(\r(2)cos25°,cos25°)＝eq\r(2).

3．已知α是第三象限的角，且tanα＝2，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝(C)

A．－eq\f(\r(10),10) B.eq\f(\r(10),10)

C．－eq\f(3\r(10),10) D.eq\f(3\r(10),10)

解析：因为α是第三象限的角，tanα＝2，

所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(sinα,cosα)＝2，,sin2α＋cos2α＝1，))所以cosα＝－eq\f(\r(5),5)，sinα＝－eq\f(2\r(5),5)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝sinαcoseq\f(π,4)＋cosαsineq\f(π,4)＝－eq\f(2\r(5),5)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(3\r(10),10).

4．已知cosα－sinα＝eq\f(1,5)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,2)))＝(C)

A．－eq\f(24,25) B．－eq\f(4,5)

C.eq\f(24,25) D.eq\f(4,5)

解析：由cosα－sinα＝eq\f(1,5)，得1－sin2α＝eq\f(1,25)，所以sin2α＝eq\f(24,25)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,2)))＝sin2α＝eq\f(24,25)，故选C.

5．(2024·长春质监)直线y＝2x绕原点顺时针旋转45°得到直线l，若l的倾斜角为α，则cos2α的值为(D)

A.eq\f(8＋\r(10),10) B.eq\f(8－\r(10),10)

C．－eq\f(4,5) D.eq\f(4,5)

解析：设直线y＝2x的倾斜角为β，则tanβ＝2，α＝β－45°，

所以tanα＝tan(β－45°)＝eq\f(tanβ－tan45°,1＋tan45°·tanβ)＝eq\f(1,3)，

cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq\f(4,5)，故选D.

6．(2024·济南模拟)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))，若sin2α＝eq\f(4,5)，则cosα＝(D)

A．－eq\f(2\r(5),5) B.eq\f(2\r(5),5)

C．－eq\f(\r(5),5) D.eq\f(\r(5),5)

解析：因为sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(4,5)，sin2α＋cos2α＝1，所以25cos4α－25cos2α＋4＝0，解得cos2α＝eq\f(1,5)或cos2α＝eq\f(4,5)(舍去)，故cosα＝eq\f(\r(5),5).

7.eq\f(\r(6