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高考

数学

专题十一概率与统计

11.3二项分布与正态分布

基础篇

考点一条件概率、相互独立事件及二项分布、全概率公式

1.条件概率及其性质

1)一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)0,称P(B|A)= 为在事件A发

生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.

2)条件概率的性质

设P(A)0,则

①P(Ω|A)=1;

②如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).

③设 和B互为对立事件,则P( |A)=1-P(B|A).

2.全概率公式

一般地,设A,A,…,A是一组两两互斥的事件,A∪A∪…∪A=Ω,且P(A)

12n12ni

0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)= ,称此公式为全

概率公式.

3.相互独立事件

1)对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)·P(B)成立,则称事件A与事件B相

互独立.

2)若A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(AB)=P(B|A)·P(A)=P(A)·P(B).

3)若A与B相互独立,则A与 , 与B, 与 也都相互独立.

4.n重伯努利试验与二项分

1)n重伯努利试验

①定义:将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n

重伯努利试验.

②用A(i=1,2,…,n)表示第i次试验结果,则P(AA…A)=P(A)·P(A)·…·

i12n12

P(A).

n

2)二项分

一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1),

kn-k

用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)= p(1-p)(k=0,1,2,…,

n).如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分

,记作X~B(n,p).

5.二项分布的均值与方差

若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).

考点二正态分

1.正态曲线

函数f(x)= · ,x∈R(其中μ∈R和σ(σ0)为参数)的图象为正态密

度曲线,简称正态曲线.

2.正态分

若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分,

2

记为X~N(μ,σ).特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分.

3.正态分布的均值和方差

22

若X~N(μ,σ),则E(X)=μ,D(X)=σ.

4.正态曲线的特点

1)曲线位于x轴上方且与x轴不相交;

2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;

3)曲线在x=μ处达到峰值 ;

4)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴;

5)曲线与x轴之间区域的面积为1;

6)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴移动;

7)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”;σ越大,曲线越

“矮胖”.

5.3σ原则

1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率

P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682

7;

P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954

5;

P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997

3.

2)3σ原则

2

在实际应用中,通常认为服从正态分N(μ,σ)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+

3σ中的值,这在统计学中称为3σ原则.

综合篇