2024版.新高考版 数学　计数原理、排列与组合(70).pdf

高考

数学

专题十计数原理

10.1计数原理、排列与组合

基础篇

考点计数原理、排列、组合

1.计数原理

1)完成一件事有n类办法,各类办法相互独立,每类办法中又有多种不同的

方法,则完成这件事的不同方法数是各类不同方法种数的和,这就是分类

计数原理.

2)完成一件事,需要分成n个步骤,每一步的完成有多种不同的方法,则完

成这件事的不同方法种数是各步骤的不同方法数的乘积,这就是分步计

数原理.

2.排列

1)排列数公式: =n(n-1)…(n-m+1).

2)全排列:n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个不同元素的一个全

排列, =n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1=n!.于是排列数公式写成阶乘形式为 =

 .

规定:0!=1.

3.组合

1)计算公式: = = = .由于0!=1,故 =1.

2)组合数的性质: = ; = + .

综合篇

考法一排列、组合问题的解决方法

例1

(2023届重庆质量检测,5)用1,2,3,…,9这九个数字组成的无重复数字

的四位偶数中,各位数字之和为奇数的有 (

)

A.600个

B.540个

C.480个

D.420个

解析依题意,要使各位数字之和为奇数,则可能是3个奇数1个偶数或3

个偶数1个奇数.

若为3个奇数1个偶数,则偶数一定排在个位,则有  =240个;

若为3个偶数1个奇数,则有   =360个.

综上,一共有240+360=600个.故选A.

答案

A

例2

(2017浙江,16,4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,

普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有

种不同的选法.(用数字作答)

解析从8人中选出4人,且至少有1名女学生的选法种数为 - =55.从4

人中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人的选法为 =12种.故总共有55

×12=660种选法.

答案

660

考法二分组与分配问题的解题方法

例3

(多选)(2023届重庆八中月考一,9)将甲、乙、丙、丁4名志愿者分

别安排到A,B,C三个社区进行暑期社会实践活动,要求每个社区至少安排

一名志愿者,则下列选项正确的是 (

)

A.共有18种安排方法

B.若甲、乙被安排在同一社区,则有6种安排方法

C.若A社区需要两名志愿者,则有24种安排方法

D.若甲被安排在A社区,则有12种安排方法

解析对于A,4名志愿者先分为3组,再分配到3个社区,所以有  =36种

安排方法,A错误;

对于B,甲、乙被安排在同一社区,先从3个社区中选1个安排甲与乙,剩余

两名志愿者进行全排列,所以有  =6种安排方法,B正确;

对于C,A社区需要两名志愿者,所以先从4名志愿者中选择2名安排到A社

区,再把剩余2名志愿者进行全排列,所以有  =12种安排方法,C错误;

对于D,甲安排在A社区,分为两种情况,第一种是A社区安排了两名志愿

者,所以从剩余3名志愿者中选择一个,分到A社区,再把剩余2名志愿者进

行全排列,有  种安排方法;

第二种是A社区只安排了甲志愿者,此时剩余3名志愿者分为两组,再分配

到剩余的两个社区中,此时有  种安排方法,

所以一共有  +  =12安排方法,D正确.

答案

BD