2024版.新高考版 数学　解三角形(74).pdf

高考

数学

专题五三角函数与解三角形

5.4解三角形

基础篇

考点一正弦定理和余弦定理

1.正弦定理

1)内容: = = =2R(R为△ABC外接圆半径).

2)变形形式

①a=2Rsin

A,b=2Rsin

B,c=2Rsin

C;

②sin

A= ,sin

B= ,sin

C= ;

③a∶b∶c=sin

A∶sin

B∶sin

C;

④ = =2R.

2.余弦定理

222

1)内容:a=b+c-2bccos

A;

222222

b=c+a-2cacos

B;c=a+b-2abcos

C.

2)变形形式

cos

A= ;cos

B= ;

cos

C= .

考点二解三角形及其应用

1.已知两边及一边对角解三角形,如在△ABC中,已知a,b和A.

1)若利用余弦定理求边长,实质是解一元二次方程,解出后可根据已知条

件对方程的根进行取舍.

2)用正弦定理解三角形时,会出现如下情形:

①当A为锐角时,如图,解的个数分别为一解,两解,一解.

a=bsin

Absin

Aaba≥b

注:当absin

A时无解.

②当A为钝角或直角时,如图,此时只有一个解.

注:当a≤b时无解.

2.三角形中常用的结论

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,常见的结论有:

1)A+B+C=π;

2)在△ABC中,大角对大边,大边对大角,如:ab⇔AB⇔sin

Asin

B;

3)在斜△ABC中,tan

A+tan

B+tan

C=tan

A·tan

Btan

C;

4)有关三角形内角的常用三角恒等式:sin(A+B)=sin

C;cos(A+B)=-cos

C;

tan(A+B)=-tan

C ;sin =cos ;cos =sin .

5)三角形中的射影定理:a=bcos

C+ccos

B,b=acos

C+ccos

A,c=acos

B+bcos

A.

6)sin

15°= ,cos

15°= ,

tan

15°=2- .

3.三角形的面积公式

设△ABC的三边为a,b,c,所对的三个内角分别为A,B,C,其面积为S,△ABC

的外接圆半径为R,内切圆半径为r.

1)S= ah(h为BC边上的高);

2)S= absin

C= acsin

B= bcsin

A;

2

3)S=2Rsin

Asin

Bsin

C;

4)S= ;

5)S=  .

6)S= r(a+b+c).

综合篇

考法一三角形形状的判断

要判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考.依据已知

条件中的边角关系判断时,主要有以下两种途径:

1.化角为边:利用正、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系,通过因

式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.

2.化边为角:利用正、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数

间的关系,通过三角恒等变换得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,

此时要注意应用“△ABC中,A+B+C=π”.

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