初二数学：轴对称专题线段之和最短常见题型，建议收藏.pdfVIP

初二数学：轴对称专题线段之和最短常见题型，建议收藏

【知识梳理】

路径最短问题：运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从

而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解。所以最短路径问

题，需要考虑轴对称。

典故：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，

名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解

的问题：

从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到

河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？

【精华提炼】

下列给出常考解题作图方法：

这里一定要注意审题，是在线段上找最值点还是直线上找最值点。

①线段之和最大值

对称轴为线段时，在两个端点处取到最大值

对称，然后连线，与对称轴交点即为最小值时的情况

这里有一个易错题型，求两条线段之差绝对值的最下值。我们可

以这样理解，任意一个量的绝对值都是大于等于0的，所以绝对值的

最小是就是0.即PA=PB的时候，那么怎么确定这个最值点呢，我们说

线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，所以点p必然在线段

AB的垂直平分线上。那么线段之差的最小值点就是线段AB的垂直平

分线与直线的交点。

这里可以这样理解：p点与AB两点不共线时，由两边差小于第三

边的原理可知，PA-PB的绝对值必然小于线段AB的长度。所以最大值

即为三点共线时，此时PA-PB的绝对值等于线段B。

求三角形PAB的周长最小值，常见于下面两种题型：

第一种：已知定点A点和B点，在直线上确定一点p，使三角形

PAB周长最短。这里直接应用的是将军饮马模型，因为线段AB长度是

定值，所以实际上点p就是P使A+PB的最小值点。如下图第一个图

片。

第二种：在一个角的内部有一个定点P，在角的两边上确定两点A

点和B点，使三角形PAB周长最短，这里需要做两次对称。如上图第

二个图片。

第三种题型，一定两动，求两条线段之和的最短值。

常见作图方法有两种，第一种先做A点关于其中一条边的对称点，

然后直接过这个对称点向另一条边做垂线，垂足和交点即为所求。这

里用的是垂线段最短的性质。

第二种方法是：直接把角扩大为原来的2倍，然后向大角的一条

边上做垂线，交点即为其中一个所求点，然后过这个点向另一条边做

垂线，垂足即为另一个所求点。这里用的性质是：角平分线上的点到

角两边的距离相等。