数学教案：两条直线的位置关系两条直线垂直的条件.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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示范教案

eq\o(\s\up7(），\s\do5(整体设计）)

教学分析

教材将任意两直线垂直关系转化为过原点的两直线垂直来讨论垂直的条件．在实际教学中，要让学生自己归纳、总结两条直线垂直的条件，避免教师给出结论，马上做练习题的教学方式．

三维目标

1．归纳两条直线垂直的条件，提高学生的归纳能力．

2．利用两条直线垂直的条件解决垂直问题，提高学生解决问题的能力．

重点难点

教学重点:两条直线垂直的条件及其应用．

教学难点：归纳两条直线垂直的条件．

课时安排

1课时

eq\o（\s\up7（），\s\do5（教学过程))

导入新课

设计1.上一节我们学习了利用直线方程讨论两直线相交的条件，垂直是相交的特例，那么怎样用直线方程来讨论两直线垂直的条件呢？教师引出课题．

设计2。平行与垂直是解析几何中最重要的位置关系，我们已经会用直线方程来讨论两直线平行,今天我们学习用直线方程来讨论两直线垂直，教师引出课题．

推进新课

eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究)）

eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出问题)）

eq\a\vs4\al(?1?直线l：Ax＋By＋C＝0与直线l′：Ax＋By＝0有什么位置关系？，?2?已知两条直线l1:A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.，讨论l1⊥l2的条件时，可转化为讨论过原点的哪两条直线垂直的条件？,?3?阅读教材,讨论l1与l2垂直的条件.，?4?写出判断直线l1和l2是否垂直的步骤。）

讨论结果：

（1)l与l′平行或重合

（2）由于直线l1与直线A1x＋B1y＝0平行或重合，直线l2与直线A2x＋B2y＝0平行或重合，因此我们研究l1和l2垂直的条件时，可转化为研究直线l1′：A1x＋B1y＝0和l2′：A2x＋B2y＝0垂直的条件．

(3）假定l1,l2都不与坐标轴平行或重合．

如下图，当l1⊥l2时，通过坐标原点作直线l1′∥l1和l2′∥l2，则l1′和l2′互相垂直．

在直线l1′,l2′上，分别取两点A(x1，y1)，B（x2，y2)(都不是原点)．由勾股定理，得xeq\o\al(2，1）＋yeq\o\al(2，1）＋xeq\o\al(2,2）＋yeq\o\al（2，2)＝（x1－x2)2＋(y1－y2）2.化简，得x1x2＋y1y2＝0。

由假定可知B1≠0，B2≠0，因此y1＝－eq\f（A1，B1）x1,y2＝－eq\f（A2,B2)x2.代入上式,得x1x2(1＋eq\f(A1A2,B1B2））＝0。

因为A，B都不在y轴上,所以x1x2≠0，因此1＋eq\f（A1A2,B1B2)＝0，①

即A1A2＋B1B2＝0.②

由于上面推导的每一步都是可逆的，因此，由②式可以证明两条直线l1′与l2′垂直，从而也就证明了l1与l2垂直．

假定l1，l2中有一条直线与坐标轴平行或重合．

当l1⊥l2时,可以推出l1，l2中的另一条也与坐标轴平行或重合，因此同样有A1A2＋B1B2＝0。

反过来，由条件A1A2＋B1B2＝0也可以推出l1⊥l2.

总结以上讨论，我们得到，对坐标平面内的任意两条直线l1和l2，有

eq\x(l1⊥l2A1A2＋B1B2＝0.)

如果B1B2≠0，则l1的斜率k1＝－eq\f（A1,B1)，l2的斜率k2＝－eq\f(A2，B2)。

由上面的①式，又可以得出eq\x（l1⊥l2k1k2＝－1.）

（4）计算步骤：

①给A1，B1,C1，A2，B2，C2赋值；

②计算M＝A1A2＋B1B2；

③若M＝0，则l1⊥l2；若M≠0，则l1与l2不垂直．

eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(应用示例））

思路1

例1判断下列各组中的两条直线是否垂直：

(1）2x－4y－7＝0与2x＋y－5＝0；

(2)y＝3x＋1与y＝－eq\f（1,3）x＋5；

(3)2x＝7与3y－5＝0。

解：(1)因为A1＝2,B1＝－4，A2＝2，B2＝1，得A1A2＋B1B2＝2×2＋（－4）×1＝0,所以这两条直线垂直．

（2）由k1＝3，k2＝－eq\f（1，3)，得k1k2＝3×(－eq\f（1，3）)＝－1，所以这两条直线垂直．

(3）因为A1＝2，B1＝0，A2＝0,B2＝3，得A1A2＋B1B2＝2×0＋0×3＝0，所以这两条直线垂直．

此题也可以直接看出直线2x＝7平行于y轴，直线3y－5＝0平行于x轴，从而可以判断这两条直线垂直．

点评:判定两直线垂直时，由一般式给出的直线方程，用