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二次函数的最大值和最小值问题
高一数学组主讲人蒋建平
本节课的教学目标:
重点:掌握闭区间上的二次函数的最值问题
难点:理解并会处理含参数的二次函数的最值问题
核心:区间与对称轴的相对位置
思想:数形结合、分类讨论
一、复习引入
1、二次函数相关的知识点回顾。
(1)二次函数的顶点式:_________________________________________________________
(2)二次函数的对称轴:__________________________
(3)二次函数的顶点坐标:
2、函数的最大值和最小值的概念
设函数f(x)在X处的函数值是f(X),如果不等式f(X)之f(X)对于定义域内任意X都成
ooo
立,那么f(Xf(X做函数y=f()的最小值。记作y=f(X)
X
mino
如果不等式f()Ef(X)对于定义域内任意X都成立,那么f(X)叫做函数y=f(X)的最
X0
0
小值。记作ymaX=f(Xo)
二、新课讲解:二次函数最大值最小值问题探究
类型一:无限制条件的最大值与最小值问题
2+2+3
例1、(1)求二次函数y=—XX的最大值.
,一…_2-一,
(2)求二次函数y=2x—4x的取小值
本题小结:求无条件限制时二次函数最值的步骤
1、配方,求二次函数的顶点坐标。
2、根据二次函数的开口方向确定是函数的最大值还是最小值。
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3、求出最值。
类型二:轴定区间定的最大值与最小值问题
例2、(1)求函数y=x2+3x—2,(x€[-3,1])的最大值,最小值.
2
(2)求函数y=x+3x-2(xW[1,3])的最大值最小值.
2
(3)求函数y=x+3x-2(xe[-5-2])的最大值与最小值
本题小结:求轴定区间定时二次函数最值的步骤
1、配方,求二次函数的顶点坐标或求对称轴,画简图。
2、判断顶点的横坐标(对称轴)是否在闭区间内。
3、计算闭区间端点的值,并比较大小。
类型三:轴动区间定的最大值与最小值问题
2
例3、求函数y=x+ax+3(awR)在[-1,1]上的最大值。
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变式三:求函数y=x2+ax+3(awR)在[—1,1]上的最小值。
本题小结:求轴动区间定时二次函数最值的步骤
1、配方,求二次函数的对称轴,画简图。
2、根据对称轴与区间的相对位置进行单调性判断,若函数在区间上是单调的直接求出最大值和最小
值,否则须再根据端点与对称轴距离进行分类讨论。
3、根据分类的情况求出对应的最大值与最小值。
类型四:轴定区间动的最大值与最小值问题
2
例4、求函数y=x—2x+3在[t,t+1]上的最小值。
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2
变式四:求函数y=x—2x+3在[t,t+1]上的最大值。
本题小结:求轴定区间动时二次函数最值的步骤
1、配方,求二次
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