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河北省廊坊市重点中学2023年高三第二学期第三次月考试卷数学试题
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知中,角、所对的边分别是,,则“”是“”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.充分必要条件
2.一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结果是,则判断框中应填入的条件是()
A. B. C. D.
3.某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆,其轨道的离心率为,设地球半径为,该卫星近地点离地面的距离为,则该卫星远地点离地面的距离为()
A. B.
C. D.
4.若复数是纯虚数,则()
A.3 B.5 C. D.
5.关于的不等式的解集是,则关于的不等式的解集是()
A. B.
C. D.
6.已知三棱锥的体积为2,是边长为2的等边三角形,且三棱锥的外接球的球心恰好是中点,则球的表面积为()
A. B. C. D.
7.如图,在中,,是上一点,若,则实数的值为()
A. B. C. D.
8.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示,在这一年中的水、电、交通开支(单位:万元)如图2所示,则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为()
A. B. C. D.
9.已知双曲线C:=1(a0,b0)的右焦点为F,过原点O作斜率为的直线交C的右支于点A,若|OA|=|OF|,则双曲线的离心率为()
A. B. C.2 D.+1
10.将函数的图象向右平移个周期后,所得图象关于轴对称,则的最小正值是()
A. B. C. D.
11.已知,且,则的值为()
A. B. C. D.
12.函数在的图像大致为
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.设,若函数有大于零的极值点,则实数的取值范围是_____
14.数列的前项和为,则数列的前项和_____.
15.记为数列的前项和,若,则__________.
16.在数列中,,则数列的通项公式_____.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)2019年入冬时节,长春市民为了迎接2022年北京冬奥会,增强身体素质,积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者,并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分(满分为100分)并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动,得到如图所示的频率分布直方图:
(1)求的值;
(2)将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计,请将下列列联表补充完整,并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系?
擅长
不擅长
合计
男性
30
女性
50
合计
100
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(,其中)
18.(12分)已知函数,其中为实常数.
(1)若存在,使得在区间内单调递减,求的取值范围;
(2)当时,设直线与函数的图象相交于不同的两点,,证明:.
19.(12分)已知矩阵,二阶矩阵满足.
(1)求矩阵;
(2)求矩阵的特征值.
20.(12分)在综合素质评价的某个维度的测评中,依据评分细则,学生之间相互打分,最终将所有的数据合成一个分数,满分100分,按照大于或等于80分的为优秀,小于80分的为合格,为了解学生的在该维度的测评结果,在毕业班中随机抽出一个班的数据.该班共有60名学生,得到如下的列联表:
优秀
合格
总计
男生
6
女生
18
合计
60
已知在该班随机抽取1人测评结果为优秀的概率为.
(1)完成上面的列联表;
(2)能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与测评结果有关系?
(3)现在如果想了解全校学生在该维度的表现情况,采取简单随机抽样方式在全校学生中抽取少数一部分来分析,请你选择一个合适的抽样方法,并解释理由.
附:
0.25
0.10
0.025
1.323
2.706
5.024
21.(12分)已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,且曲线的左焦点在直线上.
(Ⅰ)求的极坐标方程和曲线的参数方程;
(Ⅱ)求曲线的内接矩形的周长的最大值.
22.(10分
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