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河北省永年二中2022-2023学年高三暑假自主学习测试数学试题试卷
考生请注意:
1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题,,则是()
A., B.,.
C., D.,.
2.某空间几何体的三视图如图所示(图中小正方形的边长为1),则这个几何体的体积是()
A. B. C.16 D.32
3.甲乙两人有三个不同的学习小组,,可以参加,若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组,则两人参加同一个小组的概率为()
A.B.C.D.
4.函数,,则“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知a0,b0,a+b=1,若α=,则的最小值是()
A.3 B.4 C.5 D.6
6.复数的实部与虚部相等,其中为虚部单位,则实数()
A.3 B. C. D.
7.一个四面体所有棱长都是4,四个顶点在同一个球上,则球的表面积为()
A. B. C. D.
8.三棱锥中,侧棱底面,,,,,则该三棱锥的外接球的表面积为()
A. B. C. D.
9.设向量,满足,,,则的取值范围是
A. B.
C. D.
10.下列说法正确的是()
A.命题“,”的否定形式是“,”
B.若平面,,,满足,则
C.随机变量服从正态分布(),若,则
D.设是实数,“”是“”的充分不必要条件
11.已知正四面体的内切球体积为v,外接球的体积为V,则()
A.4 B.8 C.9 D.27
12.已知平面向量,满足,,且,则()
A.3 B. C. D.5
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知实数满约束条件,则的最大值为___________.
14.在中,角,,的对边分别为,,.若;且,则周长的范围为__________.
15.己知双曲线的左、右焦点分别为,直线是双曲线过第一、三象限的渐近线,记直线的倾斜角为,直线,,垂足为,若在双曲线上,则双曲线的离心率为_______
16.若满足,则目标函数的最大值为______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在四棱柱中,底面为正方形,,平面.
(1)证明:平面;
(2)若,求二面角的余弦值.
18.(12分)已知等比数列中,,是和的等差中项.
(1)求数列的通项公式;
(2)记,求数列的前项和.
19.(12分)如图,在中,,的角平分线与交于点,.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求的面积.
20.(12分)[选修4-5:不等式选讲]
设函数.
(1)求不等式的解集;
(2)已知关于的不等式在上有解,求实数的取值范围.
21.(12分)已知椭圆的右焦点为,过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为,且与短轴两端点的连线相互垂直.
(1)求椭圆的方程;
(2)若圆上存在两点,,椭圆上存在两个点满足:三点共线,三点共线,且,求四边形面积的取值范围.
22.(10分)在某外国语学校举行的(高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为,且成绩分布在,分数在以上(含)的同学获奖.按女生、男生用分层抽样的方法抽取人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)求的值,并计算所抽取样本的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(Ⅱ)填写下面的列联表,并判断在犯错误的概率不超过的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”.
女生
男生
总计
获奖
不获奖
总计
附表及公式:
其中,.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.B
【解析】
根据全称命题的否定为特称命题,得到结果.
【详解】
根据全称命题的否定为特称命题,可得,
本题正确选项:
【点睛】
本题考查含量词的命题的否定,属于基础题.
2.A
【解析】
几何体为一个三棱锥,高为4,底面为一个等腰直角三角形,直角边长为4,所以体积是,选A.
3.A
【解析】依题意,基本事件的总数有种,两个人参加同一个小组,方法数有种,故概率为.
4.B
【解析】
根据函数奇偶性的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】
设,若函数是上的奇函数,则,所以,函数的图象关于轴对称.
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